Objet compact et générateur compact dans une catégorie
J'ai trouvé deux définitions d'objet compact.
( Lurie, Jacob (2009), Théorie des topos supérieurs, p . 392 ) Soit$\mathcal{C}$être une catégorie qui admet des colimites filtrées. Un objet$C \in \mathcal{C}$est dit compact si le foncteur corepresentable$$ \operatorname{Hom}_{e}(C, \bullet) $$ fait la navette avec des colimits filtrés.
( Catégories abéliennes, Daniel Murfet, Définition 18 ) Soit$\mathcal{C}$ être une catégorie et $A$ un objet de $\mathcal{C}$. On dit que$A$est compact (ou parfois petit) si à chaque fois que nous avons un morphisme$u: A \longrightarrow \bigoplus_{i \in I} A_{i}$ de $A$ dans un coproduit non vide, il existe un sous-ensemble fini non vide $J \subseteq I$ et une factorisation de $u$ de la forme suivante $$ A \longrightarrow \bigoplus_{j \in J} A_{j} \longrightarrow \bigoplus_{i \in I} A_{i}. $$
Je ne sais pas comment montrer qu'ils sont équivalents, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît?
De plus, nous avons la définition du générateur d'une catégorie abélienne.
( GÉNÉRATEURS VERSUS GÉNÉRATEURS PROJECTIFS CATÉGORIES INABÉLIENNES, CHARLES PAQUETTE, p.1 ) Soit$\mathcal{A}$être une catégorie abélienne. Un objet$M$ de $\mathcal{A}$ est un générateur de $\mathcal{A}$ si pour n'importe quel objet $X$ de $\mathcal{A}$, nous avons un épimorphisme $\bigoplus_{i\in I} M\to X$ où $I$ est un ensemble d'index.
Alors, que devrait être le générateur compact? Est-ce un générateur tel qu'il y a une factorisation de la forme suivante?$$ \bigoplus_{i\in I} M \to \bigoplus_{i\in J} M \to X. $$ (toutes les flèches sont inversées ??)
Merci beaucoup!
Réponses
Ils ne sont pas équivalents. Par exemple, les objets Lurie-compacts dans une catégorie de$R$-les modules sont les mêmes que les modules finement présentables. (Il en va de même pour toute catégorie d'algèbres pour une théorie de Lawvere, c'est-à-dire une théorie algébrique dont les opérations sont finitaires, sujettes à des axiomes équationnels universellement quantifiés.) D'autre part, les objets compacts de Murfet dans une catégorie de$R$-modules n'ont même pas besoin d'être générés de manière finie (bien qu'ils le soient si $R$est Noetherian). Il y a eu une discussion assez longue à ce sujet ici: Objets "somme-compacts" = objets fg dans des catégories de modules?
Différentes communautés utilisent parfois le même terme différemment. Le terme «compact» est à certains égards suggestif, mais je ne pense pas qu'il soit optimisé.
Une partie de la difficulté à propos de ce cercle d'idées est que plusieurs définitions ne sont pas équivalentes en pleine généralité mais deviennent équivalentes avec des hypothèses supplémentaires. Par exemple, un résultat de base concernant les objets compacts est la caractérisation suivante des catégories de modules, qui entre autres fournit une caractérisation des équivalences de Morita.
Théorème (Gabriel): une catégorie abélienne cocomplète$C$ équivaut à la catégorie $\text{Mod}(R)$ de modules sur un anneau $R$ ssi il admet un générateur projectif compact $P$ tel que $\text{End}(P) \cong R$.
Les termes «compact» et «générateur» dans l'énoncé de ce théorème sont individuellement ambigus. «Compact» peut signifier soit Lurie-compact, soit Murfet-compact, et «générateur» peut avoir quelque chose comme ~ 7 significations différentes, peut-être ~ 3 d'entre elles sont couramment utilisées (?); voir Générateurs et fermetures de colimites de Mike Shulman (qui traite de 5 définitions possibles) et mon article de blog Generators (qui traite de 6 définitions possibles, dont 4 chevauchent celles de Mike) pour une discussion.
Le fait heureux est que néanmoins, la signification de «projectif compact» et de «générateur projectif compact» dans l'énoncé du théorème de Gabriel est sans ambiguïté:
- dans une catégorie abélienne cocomplète, «projectif compact», utilisant soit la compacité de Lurie, soit la compacité de Murfet, équivaut à la condition que $\text{Hom}(P, -) : C \to \text{Ab}$fait la navette avec toutes les (petites) colimités (cette condition est également connue comme étant minuscule ; voir mon article de blog Tiny objects pour une discussion), et
- pour les objets projectifs compacts dans une catégorie abélienne cocomplète, presque toutes les définitions de "générateur" que je connais s'effondrent et deviennent équivalentes. Je me limiterai à en nommer deux: le plus faible est que chaque objet différent de zéro admet une carte différente de zéro de$P$ (que j'appelle «générateur faible»; j'oublie si ce nom est standard), et le plus fort est que chaque objet peut être écrit comme le coéqualiseur d'une paire de cartes entre des coproduits de copies de $P$ (que j'appelle "générateur de présentation"; ce n'est pas standard. Dans une catégorie abélienne, les coéqualiseurs peuvent être remplacés par des cokernels mais cette définition se généralise bien aux catégories algébriques comme les groupes et les anneaux).
Il y a la nuance supplémentaire que dans une écurie $\infty$-catégorie comme celle dans laquelle travaille Lurie, il semble que l'on puisse laisser tomber la projectivité mais je ne suis pas sûr de ce que sont les déclarations précises. Par exemple, je crois qu'il y a une écurie$\infty$-Analogue catégorique du théorème de Gabriel caractérisant les catégories de modules sur $E_1$ spectres en anneau et je crois que l'analogique implique des générateurs compacts.
Quoi qu'il en soit, pour ce que ça vaut, je préconiserais la compacité Lurie comme le sens "par défaut" de la compacité. La compacité de Murfet est assez spécifique au cadre abélien, mais la compacité de Lurie est agréable dans de nombreux contextes; par exemple, dans la catégorie des modèles d'une théorie de Lawvere (groupes, anneaux, etc.) un objet est Lurie-compact ssil est présenté de manière finie. Cela implique déjà le fait pas tout à fait évident que pour les modules présentés de manière finie, est un invariant de Morita.
Juste pour ajouter un peu de contexte à la réponse de Todd, je pense que la raison de cette confusion est que l'utilisation originale de «compact», pour les espaces topologiques, peut être généralisée de différentes manières.
Premièrement, dans un poset, les deux définitions de compact concordent. Si$C$ est Lurie-compact, alors un coproduit $\sum_i A_i$ est la colimite filtrée des coproduits de sous-familles finies du $A_i$, donc l'hypothèse implique que toute carte de $C$ dans $\sum_i A_i$facteurs à travers certains de ces coproduits finis. (En effet, cette direction n'exige pas que la catégorie soit un poset.) Dans l'autre sens, si$C$ est Murfet-compact, alors toutes les colimites d'un poset sont des coproduits équivalents, donc toute carte de $C$ dans une colimite filtrée factorise par une sous-colimite finie, et par filtrage qui factorise à travers un seul objet.
Deuxièmement, un espace topologique $X$ est compact, au sens traditionnel, si et seulement si l'élément supérieur de son poset $\mathcal{O}(X)$des sous-ensembles ouverts est compact dans l'un ou l'autre de ces sens catégoriques. La différence provient donc de la généralisation de ce sens de «compact» aux non-posets de différentes manières. (Malheureusement, les espaces topologiques compacts ne sont, en général, ni Lurie-compact ni Murfet-compact dans la catégorie des espaces topologiques!)