Obtenez la somme d'une séquence à partir de la somme de ses termes impairs.

Aug 16 2020

Je voudrais calculer la somme $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} $$ en utilisant la série de Fourier de $f(x)=|x|$ plus de $(-\pi,\pi)$. Coefficients$b_k$ sont tous $0$ car $f$est même. En faisant les choses d'intégration, j'ai obtenu:$$ a_0 = \pi $$ et $$ a_k = \frac{2}{k^2}\bigg((-1)^k-1\bigg) $$ pour $k>0$. L'égalité de Parseval donne:$$ \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k^2+b_k^2)= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2dx $$ qui donne $$ \frac{\pi^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{4}{\pi^2k^4}(2-2(-1)^k) = \frac{2}{3}\pi^2 $$ qui simplifie à $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} - \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^4} = \frac{\pi^4}{48} $$ qui dit essentiellement: $$ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^4}=\frac{\pi^4}{96} $$ une idée comment obtenir la somme à partir de là?

Réponses

1 AlessandroCigna Aug 16 2020 at 02:46

Observez que ce que vous avez, c'est que $2\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{(2k+1)^4}=\frac {\pi^4}{48}$. Appel$\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{k^4}=S$ Tu as ça $\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{(2k)^4}=\frac 1{16} S$ et enfin tu as $S-\frac 1{16}S=\frac 12 \frac {\pi^4}{48}$ à partir duquel $S=\frac {\pi^4}{90}$

1 Riemann'sPointyNose Aug 16 2020 at 02:51

Vous avez essentiellement

$${\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + ... = \frac{\pi^4}{96}}$$

Vous voulez trouver

$${\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ... = ?}$$

en d'autres termes, vous souhaitez ajouter

$${\frac{1}{2^4} + \frac{1}{4^4} + ...}$$

Factorisation d'un ${\frac{1}{2^4}}$ sur les rendements ci-dessus

$${\frac{1}{2^4}\left(\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ...\right)}$$

Donc dans l'ensemble, si vous appelez ${S=\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ...}$ tu as

$${\left(\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + ...\right) + \left(\frac{1}{2^4} + \frac{1}{4^4} + ...\right) = S}$$

$${\Rightarrow \frac{\pi^4}{96} + \frac{1}{2^4}S = S}$$

Pouvez-vous maintenant réorganiser pour ${S}$?