Pack de lignes sur schéma de produits
Laisser $k$ être un champ, $X$ être une variété complète sur $k$, $V$ être une sous-variété ouverte de $X$, $Y$ être un stratagème sur $k$. Supposer$L$ est un groupe de lignes sur $V\times Y$. Si$L|_{V\times\lbrace y\rbrace}$ s'étend à un faisceau de lignes sur $X\times\lbrace y\rbrace$ pour chaque point fermé $y$ de $Y$, est-ce que la ligne est groupée $L$ étendre à $X\times Y$?
Et si une condition plus forte est supposée, à savoir pour n'importe quel foncteur $\phi\colon\operatorname{Pic}(V\times Y) \to \operatorname{Pic}(V)$ (Ici $\operatorname{Pic}$ désigne les foncteurs Picard), le faisceau de lignes $\phi(L)$ sur $V$ étend à $X$. Est-ce que$L$ étend à $X\times Y$?
Éditer: $X$ est supposé être lisse, c'est-à-dire une variété complète et lisse.
Réponses
Bienvenue nouveau contributeur. Ce n'est pas vrai, même si$X$est lisse. Un exemple permute le rôle de$X$ et $Y$ dans mon exemple précédent.
Laisser $X$ être une courbe projective lisse, géométriquement connectée du genre $g>0$. Laisser$f:X\to Y$ être la normalisation d'une courbe nodale avec un seul nœud $p$ c'est un $k$-point rationnel. Par exemple,$Y$ pourrait être une quartique de plan nodal, et $X$ pourrait être la normalisation (un genre $3$courbe). Supposons que la préimage de$\{p\}$ dans $X$ est divisé, c'est-à-dire $\{r',r''\}$ pour $k$- points rationnels $r',r''$ de $X$.
Laisser $V$ être le complément ouvert de $\{r',r''\}$ dans $X$. Désignons le morphisme du graphe de la restriction de$f$ à $V$ comme suit, $$\Gamma:V\to V\times Y.$$ L'image de ce morphisme graphique est un diviseur premier de Cartier $V\times Y$. Dénoter par$L$ la gerbe inversible sur $V\times Y$ associé à ce diviseur Cartier.
Le recul de ce diviseur Cartier pour $V\times X$ s'étend à un diviseur Cartier sur $X\times X$. Chaque extension de ce type est de la forme$$D_{c',c''} = \underline{\Delta} + \text{pr}_1^*\left(c' \underline{r'} + c''\underline{r''}\right).$$
Pour chacun de ces diviseurs Cartier étendus, les restrictions sur $X\times \{r'\}$ et plus $X\times \{r''\}$ne sont pas rationnellement équivalents. En effet, s'ils l'étaient, alors$\underline{r'}$ et $\underline{r''}$ serait rationnellement équivalent, de sorte que le genre $g$ équivaut à $0$. (C'était ma raison de travailler avec des courbes lisses de genre positif.) Depuis$X\times X$est lisse, l'homomorphisme du groupe des classes d'équivalence rationnelle des diviseurs de Cartier au groupe de Picard est un isomorphisme. Ainsi, chaque gerbe inversible sur$X\times X$ qui prolonge le retrait de $L$ a des restrictions non isomorphes sur $X\times\{r'\}$ et plus $X\times\{r''\}$. Par conséquent, chaque gerbe réversible prolongée sur$X\times X$n'est pas isomorphe au retrait d'une gerbe inversible sur$X\times Y$.
Modifier . Dans l'exemple ci-dessus, pour chaque couverture Zariski$Y'\to Y$, le même résultat est valable. Cependant, il existe une couverture étale$Y'\to Y$ de telle sorte que la gerbe inversible s'étend jusqu'à $X\times Y'$. Pour un exemple où il n'y a pas une telle extension même après une couverture étale, au lieu de laisser$X\to Y$soit la normalisation d'une courbe nodale, soit la normalisation d'une courbe cuspidale. Ensuite, la même construction donne une gerbe inversible$L$ sur $V\times Y$ tel que pour chaque couverture étale $Y'\to Y$, il n'y a pas d'extension de la gerbe inversible à $X\times Y'$.