Pas d'algèbre s'il vous plait, nous sommes des géomètres

Aug 18 2020

Étant donné un triangle rectangle avec des côtés $ABC$ faire deux autres triangles rectangles en utilisant les côtés $A$ et $C$ (côté long) et un nouveau côté long $x$(idem pour les deux nouveaux triangles). Par Pythagore, les tiers côtés implicites auront des longueurs$a$ et $c$ tel que $a^2+A^2 = x^2 = c^2+C^2$.

Maintenant, en utilisant de l'algèbre, je peux montrer que si nous pouvons former un triangle avec des côtés $aBc$ il doit être juste aussi, à savoir: $B^2+c^2 = B^2 + x^2 - C^2 = x^2 - A^2 = a^2$

Mais cela ne ressemble pas à un instrument volant par temps clair.

Peut tu

  • soit réorganiser la figure de manière à la faire ($aBc$ est juste) évident
  • ou faire un argument géométrique direct
  • ou une combinaison des deux?

Remarque sur la figure. Par coïncidence malheureuse (jeu de mots), le cercle violet semble passer$\angle AB$. Ce n'est pas nécessairement le cas. Le cercle est celui du rayon$c$ autour $\angle BC$

Réponses

3 tehtmi Aug 18 2020 at 22:44

Considérez la troisième dimension.

Supposons que nous choisissions un point dans le plan passant par$B$perpendiculaire au plan du triangle. Cela crée trois nouveaux triangles. Le triangle sur$A$a toujours raison. (C'est$Axa$.) Le triangle sur $C$ est juste à $BC$ si et seulement si le point est directement au-dessus du sommet $BC$ (c'est-à-dire la ligne passant par le nouveau point et le nouveau sommet $BC$est perpendiculaire au plan du triangle d'origine). (C'est$Cxc$.) Dans ce cas, le triangle sur $B$ a clairement raison aussi (également à $BC$). (C'est$aBc$.)