Plus grand entier inférieur ou égal à $\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}$

Question

Il s'agit d'une question d'entrée au doctorat de TIFR 2020. La question nécessite une réponse explicite. Je sais que les sommes partielles sont évaluées en utilisant la formule d'Abel dans la théorie des nombres, mais je crois qu'il peut y avoir de meilleures méthodes pour les séries de cette forme. Quelqu'un peut-il partager ses pensées?

Answer 1

Comparez la somme avec les intégrales définies appropriées:

$\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}>\int_1^{10000}\frac{dx}{x^{1/4}}=\frac{4}{3}x^{3/4}|_1^{10000}=\frac{4}{3}\cdot 999=1332$

Également:

$\sum_{n=1}^{9999}\frac{1}{n^{1/4}}<\sum_{n=1}^{10000}\frac{1}{n^{1/4}}=1+\sum_{n=2}^{10000}\frac{1}{n^{1/4}}<1+\int_1^{10000}\frac{dx}{x^{1/4}}=1+\frac{4}{3}x^{3/4}|_1^{10000}=1+\frac{4}{3}\cdot 999=1333$

Donc, la somme se situe entre $1332$ et $1333$ et donc sa partie intégrante est $1332$.

Answer 2

Astuce: considérez la fonction$f(x):=\frac43\cdot x^{\frac34}$ et utiliser le théorème de la valeur moyenne afin de déduire que $$\frac{1}{\sqrt[4]{r+1}}=f'(r+1)<\frac{f(r+1)-f(r)}{r+1-r}<f'(r)=\frac1{\sqrt[4]{r}}\iff\fbox{$\ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt [4] {r + 1}} <f (r + 1) -f (r) <\ frac1 {\ sqrt [4] {r}}$}$$ Vous pouvez maintenant résumer et utiliser le fait que presque tout sera télescope.

Answer 3

Voici une autre façon d'envisager la réponse puante des évêques. C'est une réponse dérivée et exactement la même que celle de Stinking Bishop. Je plisse juste les yeux et le regarde sous un angle différent.

$c_1=\frac 1{(n+1)^{\frac 14}} \le \frac 1{x^{\frac 14}} \le \frac 1{n^{\frac 14}}=c_2$

$c_1 \le \inf_{x\in [n,n+1]}\frac 1{x^{\frac 14}} \le \sup_{x\in [n,n+1]}\frac 1{x^{\frac 14}} \le c_2$

$\int_{n}^{n+1} c_1dx \le \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx \le \int_n^{n+1} c_2 dx$

Maintenant $\int_a^b C dx = C[b-a]$ alors $\int_{n}^{n+1} c_1dx=c_1= \frac 1{(n+1)^{\frac 14}}$ et $\int_n^{n+1} c_2 dx=\frac 1{n^{\frac 14}}$ alors

$\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}= \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx \le \frac 1{n^{\frac 14}}$

$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}\le \sum\limits_{n=1}^{9999} \int_{n}^{n+1}\frac 1{x^{\frac 14}}dx=\int_1^{10000}\frac 1{x^{\frac 14}} dx\le \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}$

Comme indiqué $\int_1^{10000}\frac 1{x^{\frac 14}} dx= 1332$

Mais notez aussi

$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{(n+1)^{\frac 14}}$ peut être réindexé comme $\sum\limits_{n=2}^{10000}\frac 1{n^{\frac 14}}$ qui est égal à $\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}} + \frac 1{10000^{\frac 14}} - \frac 1{1^{\frac 14}}= \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}- 0.9$.

Nous avons donc

$\sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}- 0.9\le 1332 \le \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}$

Et il est facile de vérifier que si $M - 1< M-0.9 \le n \le M$ puis $M< n+1 \le M+1$ et donc $n\le M< n+1$ alors $\lfloor M\rfloor=n$.

Alors $\lfloor \sum\limits_{n=1}^{9999}\frac 1{n^{\frac 14}}\rfloor =1332$.