Pour montrer le centre d'homothétie du plus grand et du plus petit cercle se trouve dans la tangente commune sur T

Question

$c_1$ centré sur $A$ passant par $B$.

$BB′$ est un diamètre de $c_1$.

$T$ un point aléatoire dans le segment $BB′$.

$c_2$ centré sur $B′$ passant par $T$.

$c_3$ centré sur $B$ passant par $T$.

$c_4$ tangent extérieurement à $c_2$ et $c_3$ et tangente en interne à $c_1$

$F$ est le centre de $c_4$ et $H,I$ sont des points de tangence.

Il est clair pour moi que $Z = HI \cap AF$ est le deuxième centre d'homothétie de $c_1$ et $c_4$ et je voudrais prouver qu'il se situe aussi dans cette ligne perpendiculaire à $AB$ à travers $T$.

résultat connexe important que vous devriez probablement connaître: montrez que ces trois cercles partagent leurs lignes tangentes externes communes

Cela semble être un résultat général sur les cercles soddy

Answer 1

• Soit une tangente commune à $T$ rencontrer $AF$ à $Y$ et laissez perpendiculaire à $AB$ à travers $F$ rencontrer $AB$ à $L$.

  
  Ensuite, nous calculons$y=LT$ par le théorème de Pythagore: $$ B'F^2-B'L^2 = LF^2 =BF^2-BL^2$$ alors $$ (b+c)^2-(b-y)^2 = (2a+b+c)^2-(2a+b+y)^2$$ et ainsi nous obtenons $$y= {ac\over a+b}$$ alors $${AY\over FY} = {AT\over LT} = {a\over y} = {a+b\over c}$$

• D'autre part, laissez $X$ être dans $HI\cap AF$.

  
  Homothétie$H_1$ à $H$ et coefficient ${b\over c}$ prend $F$ à $B'$ et homothétie $H_2$ à $G$ et coefficient ${a+b\over b}$ prend $B'$ à $A$, donc composition $H_2\circ H_1$ prend $F$ à $A$ et a un centre à $FA\cap GH =X$. Cette composition a coefficent$${a+b\over b}\cdot {b\over c} = {a+b\over c}$$ alors $X$ se divise $AF$ dans le même rapport que $Y$ Et ainsi $X=Y$ et nous avons terminé.

Answer 2

L'argument de la réponse d'Aqua peut être raccourci comme suit. Nous utilisons les mêmes noms de points, mais ici$a,b,c$ sont les rayons des cercles centrés sur $A,B',F$ respectivement (cela change la signification de $a$). Laisser$LT:TA$ être $x$.

Comme décrit dans la géométrie du triangle de Yiu , pg 2 , le centre homothétique interne$X$ (aka centre de similitude interne) de deux cercles $O(R),I(r)$ divise le segment $OI$ dans le rapport $R:r$. Ainsi le point homothétique interne de$F(c),A(a)$ se divise $FA$ dans le rapport $c:a$.

En utilisant le théorème de Pythagore comme dans la réponse d'Aqua, nous obtenons

$$ (b+c)^2-(b-x(a-b))^2=(2a=b+c)^2-(2a-b+x(a-b))^2 $$

Résoudre pour $x$(en utilisant un solveur en ligne si nous sommes paresseux) nous obtenons$x=\dfrac{c}{a}$. Donc

$$ FY:YA = LT:TA = x = c:a, $$

alors $Y$ est le centre homothétique interne de $c_1,c_4$.