Pourquoi avons-nous $\hbar$ dans la relation de commutation?
Pensons à la constante de Planck comme à la pente de la relation de dispersion du champ électromagnétique, $E=\hbar \omega$. La constante de Planck n'est pas indépendante de la charge électronique, les deux peuvent être rééchelonnées tant que la constante de structure fine reste inchangée. Pourtant, il est souvent pratique d'utiliser les deux.
Alors que nous commençons à apprendre le QM, bien avant d'arriver au QED, on nous apprend que la constante de Planck apparaît comme un multiple de $i$dans la relation de quantification canonique. Pourquoi??
Ne vous méprenez pas, je suis tout à fait d'accord avec le fait qu'il apparaisse dans les études de l'oscillateur. Il pourrait simplement s'agir d'une quantité dimensionnelle en fonction de laquelle d'autres quantités ayant les mêmes unités sont exprimées.
Mais on nous dit généralement que c'est très différent. Dans l'esprit de "ce numéro$\hbar$ dans $[q,p]=i\hbar$ est la constante de Planck dont la valeur est ..., et elle définit l'échelle à laquelle la physique commence à être quantique ».
Imaginez un monde sans QED, avec des quarks et des gluons fortement interactifs uniquement. Quel nombre mettraient-ils dans la relation de commutation lorsqu'ils enseignaient au premier cycle?
Réponses
Cette question illustre l'un des défis fondamentaux de l'enseignement de la physique. Nous devons d'abord apprendre des choses plus faciles, parce que nous sommes humains, mais c'est en conflit direct avec le désir d'apprendre les choses dans une séquence qui est logiquement claire (les axiomes les plus profonds d'abord, et dérivent pour toujours tout le reste de ceux-ci).
Nous apprenons $E=\hbar\omega$pour les photons d'abord, car c'est plus facile. Ensuite, nous apprenons le QM non relativiste, puis nous apprenons le QED. Mais la raison de l'apparition de la même constante$\hbar$ à la fois $E=\hbar\omega$ (pour les photons) et dans $[q,p]=i\hbar$ QM non relativiste (qui n'a pas de photons) vient de QED!
Pour ce cas particulier, voici une solution possible: après que les élèves apprennent que $E=\hbar\omega$pour les photons, faites remarquer qu'il s'agit d'un cas particulier de relation qui fonctionne pour les particules de toute masse, pas seulement celles sans masse. En particulier, la même relation est valable pour les particules massives en QM non relativiste. Maintenant, après avoir introduit quelques notions de base sur la QM non relativiste, nous pouvons annoncer que le facteur de$\hbar$ vient vraiment des relations de commutation, et alors nous pouvons leur montrer comment dériver la realtion $E=\hbar\omega$ de cette raison plus profonde (pour les particules massives).
Au moment où les étudiants sont prêts à apprendre la gestion de la qualité non relativiste, ils devraient déjà être familiarisés avec le fait générique que la séquence plus facile d'abord les choses est souvent différente de la séquence logiquement claire, ils devraient donc être disposés à réorganiser leur voir d'où «vient» la constante de Planck lorsqu'ils apprennent une gestion de la qualité non relativiste. Et une fois que les élèves voient comment le facteur de$\hbar$ dans $E=\hbar\omega$ découle des relations de commutation dans un QM non relativiste, ils devraient être ouverts à l'idée que quelque chose de similaire pourrait être vrai plus généralement, ils devraient donc être ouverts à une déclaration comme celle-ci:
Plus tard, lorsque vous en apprendrez davantage sur le QED relativiste, vous verrez que la relation $E=\hbar\omega$ car les photons obtient son facteur de $\hbar$ de la même source: relations de commutation.
Ce n'est pas une solution parfaite, car les étudiants pourraient supposer que «relations de commutation» signifie «entre la position observable et l'élan observable», ce qui est faux en QED. Ce problème a également une solution facile, cependant, qui est étrangement absente du programme standard: après avoir enseigné le QM non relativiste et avant d'enseigner le QED, enseignez le QFT non relativiste! Le QFT non relativiste est un excellent pont pédagogique pour de nombreuses raisons, et c'est l'une de ces raisons. En utilisant QFT non relativiste, où les mathématiques sont faciles, nous pouvons montrer aux étudiants comment la relation de commutation position-momentum découle de la relation de commutation champ-champ. À partir de là, apprendre pourquoi nous ne pouvons pas construire un opérateur de position strict dans le cas relativiste - et pourquoi nous pouvons toujours obtenir$E=\hbar\omega$ directement à partir de la relation de commutation champ-champ - devrait être une étape conceptuelle relativement facile.
Cela ne dépend pas spécifiquement du QED, mais est une conséquence de la propriété générale de la mécanique quantique selon laquelle l'impulsion est le conjugué de Fourier de la position, ou encore de la solution de l'équation de Schrodinger. En unités naturelles, la transformée de Fourier contient le terme$e^{ix\cdot p}$. Il s'ensuit que les unités naturelles de moment sont 1 / [longueur], et de même les unités naturelles d'énergie sont 1 / [temps]. Tout comme la relativité montre que les unités naturelles de distance sont les mêmes que l'unité de temps ($c=1$), la mécanique quantique montre que les unités naturelles d'énergie sont $\mathrm s^-1$. En d'autres termes,$\hbar$est simplement une constante de conversion entre les unités naturelles et l'énergie (ou la masse). Cela se reflète dans la définition SI actuelle du kilogramme, en termes de constante de Planck.