Pourquoi chaque $|X\rangle\in H_1\otimes H_0$ être écrit comme $|X\rangle=(X\otimes I_{H_0})|\Omega \rangle$ pour certains $X\in\mathcal L(H_0,H_1)$?
Dans un cadre théorique pour les réseaux quantiques, il est prouvé qu'une carte linéaire$\mathcal{M} \in \mathcal{L}(\mathcal{H_0},\mathcal{H_1})$ est CP (complètement positif) ssi son opérateur Choi $M$est semi-défini positif. Quelque chose me trouble dans cette dérivation.
Tout d'abord, quelques rappels de définition.
Laisser $X \in \mathcal{L}(H_0,H_1)$, laisser $\{|i \rangle \}_i$ être une base orthonormée de $H_0$, nous avons:
$$ | \mathcal{I} \rangle \rangle \equiv \sum_i |ii \rangle$$ $$|X \rangle \rangle \equiv (X \otimes \mathcal{I}) | \mathcal{I} \rangle \rangle$$
L'opérateur Choi est défini comme:
$$ M = \mathcal{M} \otimes \mathcal{I}_{H_0} | \mathcal{I} \rangle \rangle \langle \langle \mathcal{I} |$$
Dans sa preuve, il suppose $M \geq 0$ le but est de montrer que cela implique $\mathcal{M}$ est CP.
$M$est semi-défini positif ce qui implique qu'il est hermitien avec des valeurs propres positives. Il peut ainsi être diagonalisé. Avec$\lambda_i \geq 0$, nous avons:
$$ M = \sum_i \lambda_i |u_i \rangle \langle u_i |=\sum_i | K_i \rangle \langle K_i |$$
Avec $|K_i \rangle = \sqrt{\lambda_i} |u_i \rangle$
Mais il semble considérer "automatiquement" que $|K_i \rangle = |K_i \rangle \rangle$. Je ne comprends pas ça. Pourquoi aurions-nous nécessairement$|K_i \rangle = (K_i \otimes \mathcal{I}) | \mathcal{I} \rangle \rangle$. C'est un cas très particulier. Pourquoi l'état peut-il être écrit comme une opération locale agissant sur un état intriqué au maximum?
J'ai une mémoire super vague que tout état quantique peut être écrit comme $(K \otimes \mathbb{I}) | \mathcal{I} \rangle \rangle$. Dit autrement, il existe toujours une opération linéaire$K$ (pas nécessairement unitaire bien sûr) de telle sorte que tout vecteur dans $H_1 \otimes H_0$ peut être écrit comme $K \otimes \mathcal{I} | \mathcal{I} \rangle \rangle$Je suppose que cela résoudrait le problème. Mais je ne peux pas trouver la source de cela et je me trompe peut-être totalement.
Au final, pourquoi pouvons-nous écrire: $|K_i \rangle = |K_i \rangle \rangle$. Je voudrais une preuve de cela (et si la propriété dont je viens de parler tient, je voudrais un lien vers une référence l'exprimant ou une preuve de cela aussi dans la réponse)
Réponses
Laisser $K$ être un vecteur $$ |K\rangle=\sum_{ij}K_{ij}|i,j\rangle. $$ Nous pourrions réécrire ce ias $$ |K\rangle=\left(\left(\sum_{ij}K_{ij}|i\rangle\langle j|\right)|j\rangle\right)\otimes|j\rangle, $$ et c'est exactement la même chose que $$ |K\rangle=K\otimes 1\sum_j|j,j\rangle=|K\rangle\rangle $$ si on définit la matrice $K$ être $K=\sum_{ij}K_{ij}|i\rangle\langle j|$.
Vous avez déjà défini la matrice Choi comme $M = \rho_{\mathrm{Choi}} = \left(\mathcal{M}\otimes I\right)(|\mathcal{I}\rangle\rangle\langle\langle\mathcal{I}||)$. Je vais écrire l'état maximalement intriqué comme$|\mathcal{\Omega}\rangle$ parce que c'est mieux lisible pour moi et que j'y suis plus habitué.
Vous avez déjà souligné que $M$ être semi-défini positif signifie que nous pouvons effectuer une décomposition spectrale à valeur réelle:
$$ M = \sum_{i}\lambda_{i}|u_{i}\rangle\langle u_{i}| = \sum_{i}\sqrt{\lambda_{i}}|u_{i}\rangle\langle u_{i}| \sqrt{\lambda_{i}}. $$ Nous pouvons les décomposer $\sqrt{\lambda_{i}}|u_{i}\rangle$est en un produit tensoriel d'une base pour les deux copies des espaces de Hilbert: $$ \sqrt{\lambda_{i}}|u_{i}\rangle = \sum_{l}|a^{i}_{l}\rangle \otimes |b^{i}_{l}\rangle, $$
ce qui signifie que nous pouvons écrire: \ begin {équation} \ begin {split} M = & \ sum_ {i} \ lambda_ {i} | u_ {i} \ rangle \ langle u_ {i} | = \ sum_ {i} \ sum_ {l} \ sum_ {m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ otimes | b ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ otimes \ langle b ^ {i} _ {m} | \\ = & \ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ otimes | b ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle b ^ {i} _ {m} |. \ end {split} \ end {équation}
Comme vous le savez peut-être, nous pouvons écrire la 'sortie' de la carte $\mathcal{M}$ sur 'input' $\rho_{\mathrm{in}}$, qui est donc $\rho_{\mathrm{out}} = \mathcal{M}\left(\rho_{\mathrm{in}}\right)$, en termes de matrice Choi $M$:
$$ \mathcal{M}\left(\rho_{\mathrm{in}}\right) = d \mathrm{tr}_{2}\big[M\left(I \otimes \rho_{\mathrm{in}}^{T}\right)\big], $$ où la trace est la trace partielle sur le deuxième sous-système, et le $T$ exposant signifie la transposition.
Maintenant, nous connectons notre décomposition ci-dessus pour $M$: \ begin {équation} \ begin {split} \ mathcal {M} \ left (\ rho _ {\ mathrm {in}} \ right) & = d \ mathrm {tr} _ {2} \ big [M \ left ( I \ otimes \ rho _ {\ mathrm {in}} ^ {T} \ right) \ big] \\ & = d \ mathrm {tr} _ {2} \ big [\ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ otimes | b ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle b ^ {i} _ {m} | \ left (I \ otimes \ rho _ {\ mathrm {in}} ^ {T} \ right) \ big] \\ & = d \ sum_ {i, l, m} \ mathrm {tr} _ {2} \ big [| a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ otimes | b ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle b ^ {i} _ {m} | \ rho _ {\ mathrm {in}} ^ {T} \ big] \\ & = d \ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ langle b ^ {i} _ {m} | \ rho _ {\ mathrm {in}} ^ {T} | b ^ {i} _ {l} \ rangle \\ & = d \ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \ langle b ^ {* i} _ {l} | \ rho _ {\ mathrm {in}} | b ^ {* i} _ {m} \ rangle \\ & = d \ sum_ {i, l, m} | a ^ {i} _ {l} \ rangle \ langle b ^ {* i} _ {l} | \ rho _ {\ mathrm {dans}} | b ^ {* i} _ {m} \ rangle \ langle a ^ {i} _ {m} | \\ & = \ sum_ {i} A_ {i} \ rho _ {\ mathrm {in}} A_ {i} ^ {\ dagger}, \ end {split} \ end {equation} avec$A_{i} = \sum_{l}\sqrt{d} |a^{i}_{l}\rangle \langle b^{*i}_{l}|$. Ceci est juste la décomposition de Kraus, qui suffit pour$\mathcal{M}$ étant CP.
Laisser $\newcommand{\kett}[1]{\lvert #1\rangle\!\rangle}\newcommand{\ket}[1]{\lvert#1\rangle}\ket m\equiv \sum_k \ket{k,k}$ désigne l'état intriqué au maximum (non normalisé).
La relation $\kett X=(X\otimes I)\ket m$équivaut à une simple jonglerie d'index. Je veux dire par là que vous considérez le même objet, c'est-à - dire le même ensemble de nombres, mais en l'interprétant de différentes manières (comme un opérateur plutôt que comme un vecteur).
Pour voir ça, laissez $X\in\mathcal L(H_0,H_1)$ être votre opérateur, dont les éléments de la matrice (dans certains choix de base) nous écrivons comme $X_{ij}$. Notez que vous pouvez comprendre$X_{ij}$ en tant qu'opérateur ("envoi de l'index $j$ à l'index $i$"), ou en tant que vecteur dans$H_0\otimes H_1$. Plus formellement, si nous écrivons avec$\kett X$ «l'interprétation vectorielle» de $X$, nous avons $$\langle i,j\kett X = X_{ij} =\langle i|X|j\rangle = \langle i,j|(X\otimes I)\ket m,$$ où nous avons utilisé $\langle i,j|X\otimes I|k,\ell\rangle = X_{ik}\delta_{j\ell},$ Et ainsi $\kett X=(X\otimes I)\ket m.$ Ceci est également souvent écrit comme $\kett X=\operatorname{vec}(X)$, avec $\operatorname{vec}:\mathrm{Lin}(\mathcal X,\mathcal Y)\to\mathcal Y\otimes\mathcal X$ l'opération de "vectorisation".