Pourquoi le Cantor est-il indénombrable [duplicate]
J'ai du mal à comprendre pourquoi le set de Cantor comporte d'innombrables éléments.
Un ensemble de chantre $C$est fermé. Donc$[0,1] - C = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} I_n$est ouvert et est une union dénombrable d'intervalles ouverts disjoints. Je peux en outre supposer que je peux commander le$\{I_n\}$par leurs extrémités gauches car il n'y en a qu'un nombre incalculable. Donc entre$I_n=(a_n,b_n)$ et $I_{n+1} = (a_{n+1},b_{n+1})$, nous devons avoir $a_n < b_n \leq a_{n+1} < b_{n+1}$. Si$b_n < a_{n+1}$, puis le set Cantor $C$ se compose d'un intervalle, ce qui est une contradiction, donc $b_n = a_{n+1}$ pour tous $n$, et donc l'ensemble de Cantor peut avoir au plus un nombre incalculable de points.
Réponses
L'erreur dans votre raisonnement est l'hypothèse qu'un ensemble dénombrable de nombres peut être commandé. Par exemple, considérons l'ensemble des nombres rationnels, dénombrables, mais ne pouvant pas être ordonnés (`` ordonner '' ici signifie énumérer dans une séquence telle que$\alpha_1<\alpha_2<\dots$).
Un moyen simple de voir que l'ensemble du chantre est indénombrable est d'observer que tous les nombres entre $0$ et $1$ avec une expansion ternaire constituée de seulement $0$ et $2$font partie de l'ensemble du chantre. Puisqu'il existe un nombre incalculable de séquences de ce type, le jeu de chantre est indénombrable.
Je peux en outre supposer que je peux commander le $\{I_n\}$ par leurs extrémités gauches car il n'y en a qu'un nombre incalculable.
Non. Pourquoi pensez-vous que vous pouvez? Considérez par exemple les nombres innombrables$$ \bigl\{\tfrac1n:\ n\in\mathbb N\bigr\}\cup\bigl\{\tfrac12-\tfrac1n:\ n\in\mathbb N\bigr\}. $$ Tant qu'il y a plus d'un point d'accumulation, vous ne pouvez pas vous attendre à les classer indexés par des entiers.
Je peux en outre supposer que je peux commander le $\{I_n\}$ par leurs extrémités gauches car il n'y en a qu'un nombre incalculable.
Par cette logique, il devrait également être possible d'énumérer les nombres rationnels dans l'ordre. Mais c'est absurde.
Je ne suis pas assez bien votre argument pour voir exactement où il va mal ... Une question que vous pourriez vous poser est "cela montre-t-il que chaque ensemble fermé est dénombrable?" Quelle est la particularité du chantre mis ici? Je ne le vois pas.
Quant à savoir pourquoi l'ensemble du chantre est indénombrable, considérez ceci:
À chaque niveau fini de la construction de l'ensemble du chantre, nous «jetons» le tiers central de chaque pièce. Nous avons donc une décision à prendre à chaque étape: allons-nous à gauche ? ou allons-nous bien ?
Par exemple, nous commençons dans $[0,1]$. Ensuite, nous devons décider d'entrer dans$[0,\frac{1}{3}]$ ou dans $[\frac{2}{3},1]$. Disons que nous allons à gauche. Maintenant, nous avons le choix d'entrer dans$[0,\frac{1}{9}]$ ou $[\frac{2}{9},\frac{1}{3}]$.
Vous pouvez voir que chaque séquence dénombrable de choix (gauche ou droite) donne un point unique de l'ensemble du chantre. De plus, chaque point de l'ensemble du chantre correspond à une telle séquence de choix. Donc si nous écrivons$0$ pour "gauche" et $1$ pour "à droite, les points de l'ensemble du chantre sont en bijection avec les chaînes infinies de $0$le sable $1$s.
Pour s'amuser, la structure topologique convient également! C'est pourquoi vous verrez souvent des gens appeler l'ensemble du chantre$2^\omega$. Dans le langage théorique des ensembles, cela se traduit essentiellement par des «séquences infinies de$0$le sable $1$s ".
Ok, mais maintenant il doit y avoir d'innombrables séquences infinies de $0$le sable $1$s par un argument de diagonalisation . Ainsi, l'ensemble du chantre est également indénombrable.
J'espère que cela aide ^ _ ^