Pourquoi les réels avec l'opération $x \bullet y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ est un groupe?
L'opération ci-dessus est un groupe pour les nombres réels, puisque 0 est l'élément d'identité, et le négatif de tout nombre réel est son inverse, comme il peut être observé de manière triviale. L'associativité est moins triviale, mais elle tient.
En fait, si nous substituons 3 à tout nombre impair (5, 7 ...), l'opération satisfait les propriétés du groupe. Cependant, tout nombre pair échoue.
Y a-t-il une interprétation géométrique / analytique / ... pourquoi une opération comme $x \bullet y = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$ est associative et, par conséquent, donne-t-elle la structure d'un groupe aux réels?
Réponses
Laisser $G$ être n'importe quel groupe, $X$ être n'importe quel ensemble, et $f: X \rightarrow G$être n'importe quelle bijection. Ensuite, nous pouvons transférer la structure du groupe de$G$ à $X$ en définissant $x \cdot y = f^{-1}(f(x) \cdot f(y))$. Autrement dit, nous utilisons la bijection$f$ pour identifier les éléments de $G$ et éléments de $X$, et mettez une structure de groupe sur $X$en utilisant cette identification. Je laisse cela comme un exercice qui définit en effet une structure de groupe sur$X$.
Maintenant, prends $G=(\mathbb R,+)$, $X=\mathbb R$ et $f(x)=x^3$ pour récupérer votre cas.
Si $f$ est toute bijection étrange des réels alors l'opération
$$x\cdot y=f^{-1}(f(x)+f(y))$$
fait des réels un groupe et $f$un isomorphisme du groupe additif des réels à ce groupe. Dans ton cas$f(x)=x^3$. L'associativité découle du fait que$f$ est un homomorphisme. $0$ est l'élément neutre et $-x$ est l'inverse de $x$. Voici le fait que$f$ est impair est utilisé.
Pour une bijection arbitraire$f\colon \mathbf R \to \mathbf R$, l'opération $x*y = f^{-1}(f(x) + f(y))$ est une loi de groupe sur $\mathbf R$. Tout cela dit, c'est que si vous renommez chaque nombre réel$x$ comme $f(x)$ alors vous pouvez convertir la loi de groupe d'origine $+$ dans une loi de groupe $*$ pour que $f$ est un isomorphisme de $(\mathbf R, *)$ à $(\mathbf R,+)$. L'intuition est algébrique et non géométrique. Il n'y a rien de magique$n$les racines pour les impairs $n$ autre que d'être une bijection.
La fonction tangente hyperbolique $\tanh \colon \mathbf R \to (-1,1)$ est une bijection qui permet de transporter l'addition sur $\mathbf R$ à une loi de groupe sur $(-1,1)$qui est utilisé en relativité restreinte (addition de vitesses dans le mouvement unidimensionnel). L'inverse de cette bijection, jusqu'à un facteur d'échelle, est appelé «rapidité» en physique.
Réponse courte: parce que $\sqrt{x^2}\ne x$ pour $x<0$.
Réponse longue, dans laquelle je préfère $\cdot$ à $\bullet$:
Une opération satisfaisante $(x\cdot y)^n=x^n+y^n$ ferme les réels, puisque si $n$ est étrange que nous puissions prendre le $n$ème racine, & si $n$ est même nous essayons seulement de prendre le $n$la racine de quelque chose $\ge0$. Et depuis$$((x\cdot y)\cdot z)^n=(x\cdot y)^n+z^n=x^n+y^n+z^n=(x\cdot(y\cdot z))^n,$$l'opération associe. (Annulation de la puissance de$n$ est trivial puisque, même si $n$ est même, $\cdot$ est toujours défini pour prendre le non-négatif $n$de toute façon.) Donc, au minimum, nous formons un semi-groupe.
Depuis $x\cdot0=(x^n)^{1/n}$, pour impaire $n$ Nous avons aussi $0$ comme identité, mais même pour $n$ nous ne parce que $x\cdot0=|x|$, donc ce n'est même pas un monoïde, encore moins un groupe . Le dernier axiome de groupe est inverses, qui fonctionnent pour impaire$n$ comme vous l'avez noté, mais même $n$ nous avons $x\cdot y\ge|x|$, donc nous n'avons pas d'inverse non plus.
Indice :
L'associativité résulte simplement du fait que les deux $\;(x\bullet y)\bullet z$ et $\;x\bullet( y \bullet z)$ sont égaux à $$\sqrt[\substack{\,\scriptstyle3\\}]{x^3 +y^3+z^3}.$$