Pourquoi n'y a-t-il pas eu d'unification des axiomes de topologie et des axiomes de la théorie des mesures?
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Les axiomes d'un espace topologique et d'un espace de mesure semblent au départ très similaires. Ils diffèrent par les axiomes de fermeture des unions et des intersections. L'étrange ressemblance entre une métrique et une mesure me fait me demander pourquoi ces axiomes ont été définis séparément. Ne pourraient-ils pas développer une théorie avec juste le concept d'une mesure et d'un espace de mesure?
Le seul problème que je vois est que cela pourrait créer une logique circulaire. Si nous avons besoin d' axiomes de l'espace topologique pour développer des concepts dans la théorie des mesures, c'est une raison pour laquelle nous aurions besoin de séparer les deux concepts. La fermeture des unions arbitraires par rapport aux unions dénombrables, et des intersections finies par rapport aux intersections dénombrables, n'est pas quelque chose que j'aimerais voir comme la seule différence entre les deux concepts. Pourquoi avoir deux systèmes distincts alors qu'ils sont, au moins dès le départ, des concepts très similaires?
Réponses
Topologies et $\sigma$-les algèbres sont conçues avec différents objectifs à l'esprit. $\sigma$-les algèbres sont conçues pour bien jouer avec les mesures, qui sont une sorte généralisée de carte de mesure de volume. Les topologies sont conçues pour capturer une notion de «proximité»: quand est un point$x$ près d'un ensemble $S$? Si chaque quartier ouvert de$x$ intersecte $S$. Quand une séquence se rapproche-t-elle arbitrairement de$x$? Si chaque quartier ouvert de$x$contient des points dans la séquence. Des trucs comme ça. Il n'est donc pas étonnant qu'au départ, les topologies et$\sigma$-les algèbres sont différentes.
Mais! Si nous y réfléchissons un peu plus, alors nous pourrions constater qu'intuitivement, les voisinages ouverts d'un point sont ceux qui ont un certain volume. Genre, si je mets une balle ouverte$x$, Je peux dire qu'il a un volume non nul. Et$\sigma$-les algèbres sont conçues pour permettre des mesures de volume. Donc, tous les ensembles ouverts ne devraient-ils pas en quelque sorte être$\sigma$-algèbre? Après tout, il peut être utile d'attribuer un volume à de tels ensembles. Et la réponse est oui, cela a du sens. Nous aimerions beaucoup que nous puissions attribuer un volume aux décors ouverts. Par exemple, cela permettrait aux fonctions continues de bien jouer avec le volume, car les fonctions continues jouent bien avec des ensembles ouverts. Et c'est pourquoi nous définissons le Borel$\sigma$-algèbre : étant donné un espace topologique$(X,\tau)$, nous définissons le Borel $\sigma$-algèbre sur $X$ comme $\mathcal B(X):=\sigma(\tau)$, c'est le plus petit $\sigma$-algèbre contenant tous les sous-ensembles ouverts de $X$, donc tous les sous-ensembles qui devraient avoir du volume. Maintenant$(X,\mathcal B(X))$ est un espace mesurable sur lequel on pourrait définir une mesure $\mu$d'attribuer un volume à chaque ensemble ouvert, si nous le voulions. Cette approche est souvent utilisée pour définir la mesure Lebesgue, par exemple. Nous prenons chaque ensemble ouvert de$\mathbb R^n$et lui attribuer le volume qu'il devrait avoir intuitivement, puis nous prenons tous les autres ensembles que nous pourrions obtenir en les unissant et en les croisant et en leur attribuant un volume qui correspond à la définition d'une mesure. (Il existe une «meilleure» approche utilisant des mesures externes qui donne des ensembles plus mesurables, mais celle-ci est plus simple.)
Mais le Borel $\sigma$-algèbre est juste un $\sigma$-algèbre que nous pourrions vouloir. Pour d'autres applications, des applications différentes pourraient mieux fonctionner, en particulier si nous ne nous soucions pas vraiment du sentiment de proximité sur l'ensemble sous-jacent. Alors nous n'avons pas besoin d'une topologie, alors pourquoi restreindre notre$\sigma$-algèbre avec une topologie?