Pourquoi un ensemble convexe fermé contient-il des lignes si et seulement il n'a pas de points extrêmes ? [dupliquer]

Aug 17 2020

Laisser$A\subset\mathbb R^n$être fermé et convexe. Un point$x\in A$est dit un point extrême s'il ne peut pas être représenté comme une combinaison convexe non triviale de points dans$A$. Laisser$\operatorname{ext}A$désigne l'ensemble des points extrêmes de$A$.

Je suis tombé sur l'observation que "$A$contient des lignes si et seulement si elle n'a pas de points extrêmes " (page 37, remarque 1, dans Hug et Weil (2010) , pdf peut être trouvé ici ).

je vois que si$A$contient une ligne$L$, alors il ne peut pas avoir de points extrêmes. En effet, étant donné n'importe quel$x\notin L$, puis la fermeture convexe (fermée) de$\{x\}\cup L$doit être égal à tout entre$L$et la droite parallèle à$L$sécante$x$, et cet ensemble n'a pas de points extrêmes. Géométriquement, cela revient à la construction suivante :

$\qquad\qquad\qquad$

Cependant, je ne sais pas comment procéder pour l'autre sens. Comment prouver que si$A$ne contient pas de lignes, alors il doit y avoir au moins un point extrême (ou de manière équivalente, que l'absence de points extrêmes implique qu'au moins une ligne est contenue dans$A$) ?

Réponses

2 DanielFischer Aug 17 2020 at 00:43

$A$doit être supposé non vide bien sûr. On peut alors utiliser l'induction sur la dimension.

Dans$\mathbb{R}^1$, un ensemble convexe fermé non vide$A$qui ne contient aucune ligne a une des formes$(-\infty, a]$,$[a, +\infty)$, ou$[a,b]$(avec$a \leqslant b$), et pour tout cela$a$est un point extrême de$A$.

Pour l'étape d'induction, soit$x \in A$et considérons une ligne arbitraire$L$en passant par$x$. Depuis$L \not\subset A$il y a un point$y \in L\setminus A$. Laisser$s = \max \{ t \in [0,1] : x + t(y-x) \in A\}$et$z = x + s(y-x)$. Alors il existe un hyperplan support pour$A$en passant par$z$. Ceci est donné par$$ H = \{\xi : \langle \xi, \eta\rangle = \langle z, \eta\rangle\}$$pour certains$\eta \in \mathbb{R}^n$avec$\langle \eta, \eta\rangle = 1$. On peut sans perte de généralité supposer que$\langle \xi, \eta\rangle \leqslant \langle z, \eta\rangle$pour tous$\xi \in A$.

À présent$A_H = A \cap H$est un ensemble convexe fermé dans l'hyperplan$H$(auquel on peut s'identifier$\mathbb{R}^{n-1}$) qui ne contient aucune ligne et n'est pas vide (par exemple$z \in A_H$). Par l'hypothèse d'induction,$A_H$a des points extrêmes. Mais un point extrême de$A_H$est aussi un point extrême de$A$, car si un point$p$de$A_H$est représenté comme une combinaison convexe de deux points de$A$, alors ces deux points doivent tous deux se situer dans$A_H$. Ainsi$A$a des points extrêmes.

glS Aug 18 2020 at 21:20

Voici une légère reformulation de l'autre réponse .

Je veux prouver qu'un objet fermé, convexe, non vide$A\subset\mathbb R^n$qui ne contient pas de lignes, contient toujours au moins un point extrême.

La$\mathbb R^1$cas est trivial : le seul possible$A$sont des intervalles fermés finis ou des segments infinis de la forme$[a,\infty)$et$(-\infty,a]$. Supposons donc que l'énoncé soit vrai pour$A\subset\mathbb R^{n-1}$.

Laisser$x\in A$être un point arbitraire, et soit$L$être une ligne passant par$x$. Ainsi$x\in L$, et par hypothèse$L\not\subset A$. Il y aura alors quelques$y\in L\setminus A$. Laissez alors$z\in L\cap \operatorname{conv}(\{x,y\})$être un élément à la frontière de$A$, laisser$H$être l'hyperplan support pour$A$en passant par$z$, et considérons l'ensemble$A_H\equiv A\cap H$. Voici une représentation de cette construction en$\mathbb R^2$:

Dans ce cas simple,$H$doit être une ligne et donc$A_H\subset\mathbb R^1$contient un point extrême selon l'hypothèse d'induction (dans ce cas particulier$A_H=\{z\}$). Plus généralement,$A_H$sera un sous-ensemble fermé, convexe et non vide de$\mathbb R^{n-1}$, et contiennent donc des points extrêmes.

Il ne reste plus qu'à prouver qu'un point extrême de$A_H$est aussi un point extrême pour$A$. Autrement dit, il faut prouver que si$p\in A_H$alors$p\notin \operatorname{conv}(A\setminus A_H)$. A cet effet, nous rappelons que$A_H$est défini comme l'intersection entre$A$et un hyperplan, ce qui signifie qu'il y a$\eta\in\mathbb R^n$et$\alpha\in\mathbb R$telle que, définissant$f(\xi)\equiv \langle \eta,\xi\rangle$, Nous avons$f(\xi)\le \alpha$pour tous$\xi\in A$, et$f(\xi)=\alpha$pour tous$\xi\in A_H$.

Mais alors, si$p\in A_H$étaient une combinaison convexe d'éléments de$A$,$p=\sum_k \lambda_k a_k$avec$a_k\in A, \sum_k\lambda_k=1, \lambda_k\ge0$, alors$$\sum_k \lambda_k f(a_k) = f(p)= \alpha,$$ce qui n'est possible que si$f(a_k)=\alpha$pour tous$k$, c'est-à- dire si$a_k\in A_H$.