Pouvez-vous plier un carré en un carré d'un cinquième de la surface?
J'adore l'origami, et cela m'a récemment donné une idée pour un puzzle très dur mais beau. Je suis vraiment curieux de savoir si quelqu'un ici peut le résoudre.
Alors, voici le puzzle. On vous donne une grande feuille de papier parfaitement carrée sans aucune marque. Avec ce carré, vous devez faire un carré d'exactement un cinquième de la surface du carré d'origine. Vous ne disposez d'aucun outil tel qu'une règle ou des ciseaux, et tout ce que vous pouvez faire est de plier le papier. Comment résolvez-vous cela?
Réponses
La façon de procéder est:
- Pliez le papier en deux le long des deux axes. Vous avez maintenant marqué le milieu des quatre côtés.
- Pliez le long des diagonales de déplacement du chevalier, dessinées ici:
Cela crée le carré rouge. Les cinq régions colorées ont la même surface, donc le carré rouge fait 1/5 de la taille du carré avec lequel vous avez commencé.
Pliez le papier horizontalement exactement au milieu; pliez chacun des deux$1\times\frac 1 2$rectangles en diagonale de sorte que les deux diagonales soient parallèles. Faites pivoter le papier d'un quart de tour et faites exactement la même chose. Les quatre diagonales que vous venez de créer entourent un carré de surface$\frac 1 5$.
Nous devons montrer que la distance entre deux diagonales parallèles est $\frac 1 {\sqrt 5}$. Cette distance est égale à la hauteur sur la diagonale de l'un des grands triangles que nous avons créés. Ces triangles ont une aire$\frac 1 4$ tandis que la longueur de base c'est-à-dire la longueur d'une diagonale est $\frac {\sqrt 5} 2$. La déclaration suit immédiatement.
voici une solution, je pense qu'en l'utilisant de la même manière, nous pouvons avoir n'importe quelle fraction carrée souhaitée.
(La longue ligne grise est la 1ère ligne grise, la plus courte est la 2ème ligne grise.)
1. ce que nous faisons est d'obtenir les lignes bleues en premier en pliant plusieurs fois en deux, dans ce cas, nous obtenons une division de 1/8.
2. Prenez cinq divisions continues à partir du bord droit.
3. pliez le papier pour rencontrer le coin supérieur droit du carré complet et le point qui est l'extrémité inférieure de la 5ème ligne bleue (dans l'image, une ligne bleue chevauche le noir qui est la 4ème ligne bleue).
4. nous obtenons la ligne grise en joignant la "fin de la 5ème ligne bleue" et "un coin". 5. non, nous avons un triangle de côtés x et (5/8) * x;
6. Faites une opération similaire pour la deuxième ligne grise du triangle (avec les côtés x et (3/8) * x), cette fois, utilisez l'extrémité de la troisième ligne bleue.
7. pliez le bord supérieur du papier pour obtenir la ligne verte de longueur x / 8 qui coupe la première ligne grise et le bord droit du papier. (Pourrait être fait facilement)
8. la zone de ligne verte entre les 2 lignes grises est longueur x / 20. >! 9. pliez le bord droit pour obtenir la ligne rouge qui passe du point d'intersection de la ligne verte et de la 2ème ligne grise.
10. maintenant, nous avons cette mesure de longueur x / 20 sur un côté que nous pouvons copier 4 fois en pliant le papier pour obtenir une longueur x / 5, puis en faisant un carré.
Maintenant, quand nous avons une longueur x / 5, nous prendrons une longueur x / 5 sur un bord, disons bord droit et 2x / 5 longueur sur le bord supérieur (donc ces 2 longueurs sont perpendiculaires l'une à l'autre)
ce x / sqrt (5) peut être utilisé pour créer un carré d'aire 1/5 de la plus grande;
imgur est toujours lent PS: j'ai fait une grosse erreur plus tôt et j'ai obtenu 1/5 ème de longueur, l'édition donne maintenant 1 / sqrt (5) longueur
PS: Nous pouvons le généraliser pour obtenir n'importe quelle fraction de surface si la fraction peut être écrite comme une somme de 2 carrés signifie ici 5 = 2 2 + 1 1, aussi si vous êtes vraiment très travailleur, vous pouvez en fait obtenir toutes les fractions souhaitées, mais vous doivent faire ces dernières étapes plusieurs fois.
Pas une réponse. Voici seulement une animation pour visualiser la belle réponse de Deusovi . J'espère que ça vous plait.
En prolongeant la réponse de Deusovi, vous pouvez plier un carré en n'importe quel carré de fraction de la fraction $n^2/(a^2+b^2)$, où $n <= a-b$.
Atteindre $1/5$, choisissez $n=1$, $a=2$, $b=1$.
Fractionner les bords en $a$parts égales. Puis pliez les lignes "chevalier-mouvements"$(a,b)$. Cela générera$(a-b)^2$ carrés de taille $1/(a^2+b^2)$. Maintenant rassemblez$n^2$ de ceux-ci pour générer la fraction souhaitée.