Pouvez-vous prendre une infinité de racines carrées de Pauli-X?

Question

J'essaie de trouver le coût d'une porte de Toffoli à n bits sur la base du circuit récurrent présenté sur le travail de Barenco dans le lemme 7.5 ( Portes élémentaires pour le calcul quantique )

La construction nécessite que nous prenions itérativement la racine carrée de Pauli X. Je me demandais s'il y avait une preuve que nous pouvons toujours prendre la racine carrée de Pauli X autant de fois que possible?

Answer 1

Les matrices unitaires peuvent être élevées à n'importe quelle puissance, y compris les puissances fractionnaires, de sorte que n'importe quelle racine que vous voulez que vous puissiez trouver. Vous trouvez la racine en décomposant la matrice, en modifiant les valeurs propres (en les élevant à la puissance désirée), puis en remontant la matrice.

Dans le cas de la matrice de Pauli X, les vecteurs propres sont $|+\rangle\langle +|$ et $|-\rangle\langle -|$ afin que vous puissiez trouver des racines comme celle-ci:

$$X^s = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 &1\end{bmatrix} + \frac{e^{i \pi s}}{2}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1\end{bmatrix}$$

Une fois que cela est fait, le véritable défi se réalise $X^s$portails en utilisant le jeu de portails dont vous disposez sur votre ordinateur. Par exemple, si vous utilisez l'ensemble de porte T Clifford + alors vous pouvez approcher la rotation en utilisant une série de portes H et T .

Notez que, pour effectuer un NOT contrôlé par plusieurs, il existe des constructions sans ancilla plus efficaces que celle que vous avez liée: https://algassert.com/circuits/2015/06/22/Using-Quantum-Gates-instead-of-Ancilla-Bits.html