Preuve de la continuité de $\sqrt{x}$ - où est mon erreur?

Question

J'essaye de le prouver $f(x) = \sqrt{x}$ est continu sur $[0, \infty)$. Voici ce que j'ai jusqu'à présent:

Considérer $x_0 \in [0,\infty)$ $$|f(x) - f(x_0)| = |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}|$$

Multiplions cette quantité par le nombre positif $|\sqrt{x}+\sqrt{x_0}|$. Ensuite,$$ \begin{align} |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| &< |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}||\sqrt{x} + \sqrt{x_0}|\\ |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| &< |x-x_0| < \delta \end{align} $$

Choisissons $\delta=\epsilon$. Maintenant nous avons$$ \begin{align} |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| &<\delta \\ |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| &<\epsilon \\ |f(x) - f(x_0)| & < \epsilon \end{align} $$ Quand $|x-x_0|<\delta$. Cela semble prouvé si vous me demandez, mais d'après ce que j'ai lu, le module de continuité de$\sqrt{x}$ est $\delta(\epsilon)=\epsilon^2$. Cela m'oblige à conclure que j'ai commis une erreur quelque part, mais je ne la trouve pas. (Je parie que c'est un détail stupide)

Merci d'avance!

Answer 1

Allusion:

$$|\sqrt x-\sqrt{x_0}|=\frac{|x-x_0|}{\sqrt x+\sqrt{x_0}}<\frac\delta{\sqrt x+\sqrt{x_0}}$$

et vous savez $\;\sqrt x\ge 0\;$ pour tous $\;x\in[0,\infty)\;$ , alors $\;\sqrt x+\sqrt{x_0}\ge\sqrt{x_0}\;$ ...