Prime Spectrum d'un anneau: pourquoi la géométrie est-elle capturée par les anneaux locaux?
Si une fonction $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ est continue, $f$est localement inversible à tous les points de non-fuite. Autrement dit, pour tous les points$x_0$ tel que $f(x_0) \neq 0$, il existe un quartier ouvert $U$ de $x_0$ et une fonction $g: U \rightarrow \mathbb R$, tel que pour tous $u \in U$, $(f \times g)(u) = f(u) \times g(u) = 1$.
L'inverse est-il vrai? Une fonction localement inversible à tous les points non fuyants est-elle continue?
Il semble que non. Considérez la fonction$ f(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb Q \\ 2 & \text{otherwise} \end{cases} $
Cela a une fonction inverse $ g(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb Q \\ 1/2 & \text{otherwise} \end{cases} $
alors même que $f$est discontinu partout. Alors clairement, cette définition localement inversible est très loin de nous donner des fonctions continues.
Je ne suis plus motivé par le spectre d'un anneau. C'est cette propriété "d'inversion locale" qui (je pensais) motive la définition de la structure gerbe sur le spectre d'un anneau. Dans$\operatorname{Spec}(A)$, l'anneau de fonctions autour d'un point (premier) $\mathfrak p$ est $A_\mathfrak p$. Donc toutes les fonctions (éléments d'anneau) qui ne sont pas nulles à$\mathfrak p$ sera forcé de devenir inversible par voie de localisation.
Mais cette définition ne semble pas assez forte pour capturer réellement ce que nous voulons - elle autorise de nombreux anneaux pathologiques de fonctions, à partir desquels nous ne pouvons pas récupérer la structure de l'espace d'origine. La preuve que je connais qui récupère l'espace d'origine étant donné l'anneau de fonctions a besoin de fonctions continues pour appliquer le lemme d'Urhyson [cela peut être trouvé dans Atiyah Macdonald, chapitre 1, exercice 26)
Qu'est-ce que je rate?
Réponses
C'est un fait qu'une fonction (réelle ou complexe) continue, ou continuellement dérivable, ou lisse, ou analytique, etc. qui ne s'évanouit nulle part a un inverse multiplicatif dans la même catégorie. De plus, par continuité, une fonction ne peut disparaître que sur un ensemble fermé. Par conséquent, la gerbe de telles fonctions sur un espace topologique a la propriété que ses tiges sont des anneaux locaux. Pour les variétés algébriques irréductibles définies de manière classique, nous avons des fonctions rationnelles, le faisceau de fonctions régulières a la même propriété. Pour les variétés algébriques pas forcément irréductibles, on ne peut pas vraiment parler de fonctions rationnelles mais une analyse plus approfondie du faisceau de fonctions régulières sur des variétés algébriques affines irréductibles révèle qu'il n'est pas nécessaire de passer par des fonctions rationnelles en premier lieu, et c'est ainsi nous arrivons à la définition de la gerbe de structure d'un schéma affine général. Le fait que les tiges soient des anneaux locaux est, dans un certain sens, accessoire.
Laisser $k$ être un champ algébriquement clos et laissez $X$ être un sous-ensemble de $k^n$. Aux fins de cette réponse, une fonction régulière sur$X$ est une fonction $f : X \to k$ pour lesquels il existe des polynômes $p$ et $q$ plus de $k$ tel que $q (x) \ne 0$ pour tous $x \in X$ et $f (x) = p (x) / q (x)$ pour tous $x \in X$. Laisser$\mathscr{O} (X)$ être l'ensemble des fonctions régulières sur $X$. Ensuite:
Si $X$ est un sous-ensemble fermé irréductible de $k^n$, puis la mission $U \mapsto \mathscr{O} (U)$, où $U$ varie selon les sous-ensembles ouverts de $X$, définit un sous-bloc $\mathscr{O}_X$ de la gerbe de $k$-des fonctions valorisées sur $X$.
Il y a en fait une prétention à vérifier ici, à savoir que la régularité des fonctions est une propriété locale, mais je vous laisse cela. La définition ci-dessus est requise$X$ être intégré dans $k^n$, mais ce n'est en fait pas nécessaire. D'abord:
Si $X$ est un sous-ensemble fermé de $k^n$ et $f : X \to k$ est une fonction régulière, alors il y a un polynôme $p$ plus de $k$ tel que $f (x) = p (x)$ pour tous $x \in X$.
Plus généralement:
Laisser $X$ être un sous-ensemble fermé de $k^n$, laisser $q$ être un polynôme sur $k$, et laissez $U = \{ x \in X : q (x) \ne 0 \}$. Si$f : U \to k$ est une fonction régulière, alors il existe un entier positif $m$ et un polynôme $p$ plus de $k$ tel que $f (x) = p (x) / q (x)^m$ pour tous $x \in X$.
De plus, si $U$ est dense dans $X$, puis l'homomorphisme unique $k [x_1, \ldots, x_n, u] \to \mathscr{O} (U)$ Envoi en cours $x_1, \ldots, x_n$ aux fonctions de coordonnées respectives $U \to k$ et $u$ à la fonction normale sur $U$ Défini par $1 / q$ a un noyau $(I (X) + (q u - 1))$, où $I (X)$ est l'idéal des polynômes disparaissant sur $X$.
En effet, depuis $f : U \to k$ est une fonction régulière, il existe des polynômes $p_1$ et $q_1$ tel que $q_1 (x) \ne 0$ pour tous $x \in U$ et $f (x) = p_1 (x) / q_1 (x)$ pour tous $x \in U$. Par la Nullstellensatz,$\sqrt{I (X) + (q_1)} \supseteq \sqrt{I (X) + (q)}$; en particulier, il existe un entier positif$m$ et $r \in k [x_1, \ldots, x_n]$ et $s \in I (X)$ tel que $q_1 r + s = q^m$. Par conséquent,$$\frac{p_1 (x)}{q_1 (x)} = \frac{p_1 (x) r (x)}{q_1 (x) r (x)} = \frac{p_1 (x) r (x)}{q (x)^m}$$ pour tous $x \in U$, donc nous pouvons prendre $p = p_1 r$.
Étant donné un élément général de $k [x_1, \ldots, x_n, u]$, dire $p_0 + p_1 u + \cdots + p_m u^m$, où $p_0, \ldots, p_m$ sont des polynômes dans $x_1, \ldots, x_n$ plus de $k$, nous avons $$p_0 (x) + \frac{p_1 (x)}{q (x)} + \cdots + \frac{p_m (x)}{q (x)^m} = 0$$ pour tous $x \in U$ si et seulement si $$p_0 (x) q (x)^m + p_1 (x) q (x)^{m - 1} + \cdots + p_m (x) = 0$$ pour tous $x \in U$. Puisque$U$ est dense dans $X$, la deuxième équation est valable pour tous $x \in X$, donc $$p_0 q^m + p_1 q^{m - 1} + \cdots + p_m \in I (X)$$ et donc, $$p_0 + p_1 u + \cdots + p_m u^m \in I (X) + (q u - 1)$$comme demandé. ■
Le résultat de tout cela est que, si $X$ est un sous-ensemble fermé irréductible de $k^n$, puis la gerbe $\mathscr{O}_X$ peut être reconstruit à partir de l'anneau $\mathscr{O} (X)$ avec la bijection entre les idéaux maximaux de $\mathscr{O} (X)$ et les points de $X$: ce qui précède montre que, pour un sous-ensemble ouvert principal $U \subseteq X$, c'est à dire $U = \{ x \in X : f (x) \ne 0 \}$ pour certains $f \in \mathscr{O} (X)$, l'anneau $\mathscr{O} (U)$ est la localisation de $\mathscr{O} (X)$ par rapport à l'ensemble multiplicatif $\{ 1, f, f^2, \ldots \}$. Il est facile de vérifier que les cartes de restriction sont les plus évidentes. Puisque les principaux sous-ensembles ouverts de$X$ forment une base pour la topologie de $X$, cela détermine la gerbe $\mathscr{O}_X$. Modulo l'introduction d'idéaux premiers non maximaux, c'est exactement ainsi que l'on construit le faisceau de structure pour un schéma affine général.