Probabilité d'être dans un groupe au sein d'une équipe
Ça fait un moment que je n'ai pas été à l'école, donc mes maths sont vraiment rouillées.
Il y a un jeu auquel j'ai joué où il y a un groupe de dix joueurs, et deux sont choisis au hasard comme "imposteurs".
Quelle est la probabilité que je sois choisi comme l'un des imposteurs ?
Je l'ai raisonné comme suit :
Nombre de façons pour moi d'être un imposteur =$\binom{1}1$.
Nombre de façons pour la deuxième personne d'être choisie comme imposteur =$\binom{9}1$.
Espace échantillon total =$\binom{10}2\binom{8}8$.
Donc la probabilité que je sois un imposteur est$$\frac{\binom{1}1\binom{9}1}{\binom{10}2\binom{8}8}= \frac{9}{45}$$
Quand j'ai regardé$m$imposteurs et$n$joueurs, j'ai utilisé la même logique pour obtenir une probabilité finale de$\frac{m}{n}$. Pour une raison quelconque, je ne m'attendais pas à ce résultat (que ce serait simplement un rapport plat). Y a-t-il une certaine intuition à cela? Je m'attendais à ce que le résultat soit inférieur à$m/n$, puisqu'il semble y avoir tellement de permutations pour choisir une équipe de$m$imposteurs, (par exemple, si$m = 10$,$n = 140$)
Réponses
Le numérateur est incorrect : vous recherchez des façons dont vous êtes l'un des imposteurs. Il y a 9 possibilités, à savoir vous et quelqu'un d'autre, où quelqu'un d'autre est choisi parmi 9 personnes. Notez que l'ordre de vous et de l'autre personne n'est pas important, il suffit donc de choisir l'autre personne.
Edit : En général, vous avez$n$personnes (y compris vous) et$m$imposteurs.
La probabilité que vous soyez un imposteur est de :$\frac{n-1\choose {m-1}}{n\choose m}=\frac{m}{n}$. Le numérateur est à nouveau le nombre d'imposteurs sauf vous, et le dénominateur est à nouveau le choix des imposteurs sans aucune autre contrainte impliquée.
Ceci, à mon avis, est en fait très intuitif - m personnes sur n sont des imposteurs, vous avez donc$m/n$probabilité d'être un imposteur. C'est quelque chose comme "1 personne sur 300 a le coronavirus, donc la probabilité que vous l'ayez (d'un point de vue très objectif - je ne vous connais pas du tout) est de 1/300.