Problème de combinatoire - choix $6$ cartes sur $32$-un jeu de cartes pour qu'il y ait exactement trois couleurs différentes (Inclusion-Exclusion)
Supposons que nous ayons un jeu de $32$ cartes avec $8$cartes de chacune des quatre couleurs. Comment pouvons-nous choisir six cartes de telle sorte qu'il y ait des cartes d'exactement trois couleurs différentes parmi les cartes choisies?
Je crois que le principe d'inclusion-exclusion est le moyen de le résoudre, où nous comptons d'abord le nombre total de façons de choisir $6$ cartes sur $32$ (lequel est $\binom{32}{6}$), puis excluez le nombre de combinaisons où il manque exactement deux combinaisons (ce qui est $\binom{4}{2}\binom{16}{6}$) puis par la formule d'inclusion-exclusion, ajoutez les combinaisons où les trois combinaisons sont manquantes (ce qui est $\binom{4}{3}\binom{8}{6}$). Le nombre de combinaisons de tous$4$ les combinaisons manquantes sont, bien sûr, zéro.
Ma question est: où est ma logique incorrecte? Je sais que c'est le cas, mais je n'arrive pas à repérer l'erreur.
Réponses
Il vaut mieux compter les mains nuls dans exactement une couleur.
Si nous essayons $\binom{24}6 - \binom4 2 \binom{16}6 + \binom4 3\binom8 6$, nous obtiendrons le nombre de mains vides dans au moins une combinaison vide, car nous soustrayons seulement le sur-dénombrement des mains vides multiples, alors que pour obtenir le nombre avec exactement une combinaison vide, nous devons soustraire le compte entier de la multiplication vides
Ce nombre équivaut à 4 fois le nombre de mains nulles dans, disons,$\;$$\ spadesuit $ qui peut être combiné de façon $ 3 $ pour former des mains nulles dans des combinaisons $ 2 $ , et éliminer le sur-compte en ajoutant les $ 3 $ façons dont la main peut être annulée dans $ 3 $ costumes en combinaison avec le $ \ spadesuit $ pour nous donner $ 4 [\ binom {24} 6 - 3 \ binom {16} 6 +3 \ binom8 6] $
Il y a deux problèmes ici. La première est que la formule standard d'inclusion-exclusion suppose que vous commencez par soustraire les événements où au moins une chose manque, de sorte que tout ce qui manque à deux est compté deux fois, trois manquants comptés trois fois, etc., et c'est ce qui signifie que vous seulement devez ajouter ou soustraire une fois, et que vous faites des alternatives.
Ici, vous commencez par soustraire les choses là où il en manque deux. Cela signifie que vous avez soustrait tout ce qui manquait trois fois trois fois (à partir de trois combinaisons, vous pouvez choisir une paire de trois façons), et que vous devez donc ajouter deux fois le nombre de façons d'avoir trois combinaisons manquantes. (Si c'était une situation possible, vous auriez alors besoin de soustraire trois fois le nombre de façons d'en avoir quatre: vous auriez jusqu'à présent soustrait ces configurations six fois et les avoir ajoutées huit fois.)
Le deuxième problème est que vous n'avez pas pris en compte toutes les situations où les quatre combinaisons sont présentes. Donc, après avoir fait le changement par rapport au paragraphe précédent, ce que vous avez calculé est le nombre de façons d'avoir au moins trois couleurs parmi les cartes choisies.