Propriété des centres des triangles

Question

$M$est l'intersection de 3 cevians dans le triangle$ABC$.

$$AB_1 = x,\quad CA_1 = y,\quad BC_1= z.$$

On peut facilement prouver que pour les points de Nagel et de Gergonne , l'équation suivante est vraie :$$S = xyz / r,$$où$S$est l'aire du triangle$ABC$et$r$est le rayon du cercle inscrit.

Je me demande quels autres centres de triangle pourraient éventuellement avoir la même propriété et quelle est leur place géométrique?

Veuillez également noter que pour le cas où le point$M$est le centre de gravité, la formule ressemble à ceci :$S = 2xyz/R$, où$R$est le rayon du cercle circonscrit. Substitution$x = b/2$,$y = a/2$,$z = c/2$le ramène au classique$S = abc/4R$. Peut-être que d'autres centres de triangle pourraient exister, de sorte que cette équation$S = 2xyz/R$vaut aussi pour eux. Je me demande quelle relation particulière ces points hypothétiques pourraient avoir avec le centroïde de$ABC$?

Answer 1

Ceci est juste une coda aux commentaires ci-dessus mais trop long pour un commentaire. Si$M$a des coordonnées barycentriques$(\lambda,\mu,\nu)$(pas nécessairement positif et normalisé de sorte que$\lambda+\mu+\nu=1$), alors les deux conditions se réduisent à une équation cubique de la forme$$ \frac{\lambda\mu\nu}{(\mu+\nu)(\nu+\lambda)(\lambda+\mu)} $$est une constante qui dépend de la (forme du) triangle et peut facilement être calculée explicitement.

Afin de vérifier si un centre donné (avec fonction centre$f$de l'Encyclopedia of Triangle Centers, normalisé pour être homogène avec$f(a,b,c)+f(b,a,c)+f(c,a,b)=1$), il devrait être facile d'écrire un petit programme, disons en Mathematica, pour vérifier cela sur place.

Answer 2

GeoGebra a trouvé X(7) X(8) X(506) X(507) et quelques autres si vous laissez les intersections périphériques de cevians.

PS : un bogue a été trouvé dans GeoGebra.
J'espère que c'est réparé bientôt. [Modifier : maintenant corrigé]