Prouve-le $|a|\leq \max\{|b|,|c|\}$ si $b\leq a \leq c$

Question

Prouve-le $|a| \leq \max\{|b|,|c|\}$ si $b\leq a \leq c$.

J'ai montré ça $a\leq c$ et donc $-c\leq a \leq c$ pour que $|a|\leq c$mais ensuite je suis resté coincé.
Est-ce la bonne approche?

Answer 1

• $|a| = a \text{ or } -a$
• $a \leq c \leq |c|$
• $- a \leq -b \leq |b|$

Answer 2

Allusion:

Décomposez simplement le problème en 3 cas.

Cas 1: $b < 0 \leq c.$

Cas 2: $b < c < 0.$

Cas 3: $0 \leq b < c.$

Puis attaquez manuellement chaque cas.

Answer 3

Preuve alternative: considérez la fonction $y=x^2$ où $x\in [b,c]$. Par le théorème de Fermat (ou simplement la propriété des paraboles), il n'y a pas de maximum local. Par conséquent$$a^2 \leqslant \max(b^2,c^2) \implies |a| \leqslant \max(|b|, |c|).$$