Prouver qu'une limite existe est-il équivalent à montrer que sa valeur est réelle (finie)?

Aug 18 2020

J'étudie l'analyse Tao I. Ma question vient de la démonstration des résultats en utilisant la loi limite, voici un exemple de la proposition 7.2.14 (c):

c) Soit $\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ être une série de nombres réels, et laissez $k\geq 0$être un entier. Si l'une des deux séries$\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ et $\sum\limits_{n=m+k}^{\infty}a_n$ sont convergents, alors l'autre l'est aussi, et nous avons l'identité suivante $$\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}a_n +\sum\limits_{n=m+k}^{\infty}a_n$$

Ma tentative de prouver: Let $S_N=\sum\limits_{n=m}^{N}a_n$ et $T_N=\sum\limits_{n=m+k}^{N}a_n$, ensuite nous avons $S_N=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}a_n+T_N$ pour tous $N\geq m+k$, (la déclaration est également valable lorsque $N<m+k$ avec $T_N=0$ et $S_N$ a des termes zéro redondants après l'index $N$ ), prenant la limite comme $N\to \infty$, nous avons $$\lim_{N\to\infty}S_N=\lim_{N\to\infty}\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}+\lim_{N\to\infty}T_N$$ $$=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}+\lim_{N\to\infty}T_N,$$ puisque la somme finie est indépendante de $N$.

Maintenant, supposons $\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ converge vers $L$ , puis $\lim_{N\to\infty}S_N$ existe et est égal $L$, et laissez $\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}=M$, puisque les sommes finies sont convergentes, ma question est de savoir si nous pouvons utiliser les deux résultats précédents pour conclure que $\lim_{N\to\infty}T_N$ existe et est égal $L-M$.

Ou devrais-je prouver que $S_N$ est une suite de Cauchy si et seulement si $T_N$est? Encore une fois, je ne cherche pas une solution ou une vérification de preuve, ma question comme le dit le titre: est-ce que prouver l'existence d'une limite équivaut à montrer que sa valeur est finie ou non?

En termes plus logiques, c'est ce qui suit $equivalence$ déclaration vraie: la limite existe $\longleftrightarrow$ valeur limite $\in \mathbb{R}$.

Si oui, pourquoi ne pouvons-nous pas supposer que des limites existent, alors essayez de calculer sa valeur et si elle est réelle, alors concluez qu'elle existe, par exemple en évaluant $\lim\limits_{n\to\infty}x^n$ et égale $L$, puis $xL=\lim\limits_{n\to\infty}x^{n+1}=L$ , ensuite nous avons $(x-1)L=0$. Depuis$x=1$ pour chaque réel $x$ est absurde, nous concluons que $L=\lim\limits_{n\to\infty}x^n=0$ quand $x\neq 1$. Cependant, nous savons que le raisonnement ci-dessus est faux car la limite n'existe pas en premier lieu.

Réponses

user2661923 Aug 19 2020 at 07:00

Tout d'abord, j'ai voté pour; beau travail, joliment montré.

Je vois certains domaines où votre analyse doit être améliorée:

(1)
Vous auriez dû exprimer
$$ \sum_{n=m}^{\infty} a_n \text{ as } \sum_{n=m}^{m+k-1} a_n + \sum_{n=m+k}^{\infty} a_n. $$

Ceci est différent de ce que vous avez écrit.

(2)
Poursuivant votre approche ici (que j'aime bien), avec la correction ci-dessus en place,
le premier terme sur l'ERS:$\sum_{n=m}^{m+k-1} a_n$
est une somme d'un nombre fixe de termes (et donc fini), puisque$m$ et $k$ sont (je suppose) des nombres fixes.

Par conséquent, en utilisant votre approche, j'aurais écrit que
$S = \sum_{n=m}^{m+k-1} a_n$, avec $S$ indépendant de$N$,
puis écrit$T_N = \sum_{n=m+k}^{N} a_n. $

Ensuite, pour simplifier la notation, j'aurais écrit:
Let$T = \lim_{N \to \infty} T_N.$

(3)
Le problème se résumerait alors à montrer que$T$ est fini (plutôt qu'infini) si et seulement si $(T + S)$ est fini.

C'est là tout le problème et c'est là que vous voulez que votre intuition se développe. Ce qui précède si et seulement si l'assertion doit être simple pour démontrer en utilisant le$\epsilon, \delta$ définition de votre classe sur la somme infinie.