Prouver que dans une séquence de sous-ensembles chaînés, l'intersection est finie et non vide

Dec 24 2020

L'en-tête est simplement une version simplifiée. Actuellement, je lis Comprendre l'analyse et je travaille sur les préliminaires. La question est:

Si $A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq A_4\cdots$ sont tous des ensembles finis et non vides de nombres réels, puis l'intersection $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ est fini et non vide.

Le livre à ce stade n'a pas formellement défini le fini. De plus, le seul indice, à mon avis, offert par le livre est la question suivante,

Si $A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq A_4\cdots$ sont tous des ensembles contenant un nombre infini d'éléments, puis l'intersection $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ est aussi infini.

Avec cette question et un exemple susmentionné, je peux résoudre ce problème en définissant l'ensemble $A_i = \{i,i+1,i+2\dots\}\subseteq N$ et une preuve par contradiction.

Cependant, quand il s'agit de $A_i$ contenant des éléments finis, je ne sais pas comment

  1. Prouver par définition
  2. Comprendre l'intuition derrière ne peut pas trouver un contre-exemple comme la version infinie

Réponses

1 BrianM.Scott Dec 25 2020 at 02:31

Une façon est de remarquer qu'une suite décroissante d'entiers positifs, dans ce cas les cardinalités des ensembles $A_k$, doit finalement être constant. Pour$k\in\Bbb Z^+$ laisser $n_k=|A_k|$, le nombre d'éléments dans $A_k$; $n_k$est un entier positif. Laisser$N=\{n_k:k\in\Bbb Z^+\}$; $N$ est un ensemble non vide d'entiers positifs, donc il a un plus petit élément $m$. Laisser$\ell\in\Bbb Z^+$ être tel que $n_\ell=m$.

$A_{\ell+1}\subseteq A_\ell$, donc $n_{\ell+1}\le n_\ell=m$. Mais$m=\min N$, donc $n_{\ell+1}\ge m$, et donc $n_{\ell+1}=m$. Donc,$A_{\ell+1}\subseteq A_\ell$ et $|A_{\ell+1}|=|A_\ell|$ , donc $A_{\ell+1}=A_\ell$. Vous pouvez utiliser cette idée pour prouver par récurrence que$A_k=A_\ell$ pour chaque $k\ge\ell$. Ensuite, vous avez presque terminé.$A_k\supseteq A_\ell$ pour $k=1,\ldots,\ell$, et $A_k=A_\ell$ pour $k>\ell$, donc

$$\bigcap_{k\ge 1}A_k=\bigcap_{k=1}^\ell A_k\cap\bigcap_{k>\ell}A_k=A_\ell\cap A_\ell=A_\ell\,.$$