Quand est le cône $C(X)$ sur un espace localement compact?

Dec 16 2020

Il y a quelques questions dans ce forum traitant des cas particuliers de cette question, par exemple ceci pour$X = \mathbb Z$et ceci pour$X = \mathbb R$. Ma question est

Quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour $X$ qui assurent la compacité locale du cône $C(X) = (X \times I)/(X \times \{1\})$?

La réponse peut dépendre de la définition précise de la compacité locale. Voici deux variantes:

  1. $X$ est localement compact si chacun $x \in X$ a un voisinage compact.

  2. $X$ est localement compact si chacun $x \in X$ a une base de voisinage constituée d'ensembles compacts.

Il est clair que 2. est plus fort que 1. Si "compact" est supposé inclure "Hausdorff", alors 1. et 2. sont équivalents. Il en va de même pour Hausdorff$X$ indépendant de l'interprétation de «compact».

Le lecteur est encouragé à utiliser son interprétation préférée.

Une condition suffisante évidente est la suivante:

Si $X$ est compact, alors $C(X)$ est compact et donc localement compact au sens de 1. Si $X$ est Hausdorff compact, alors $C(X)$ est un Hausdorff compact et donc localement compact au sens de 2.

De même, une condition nécessaire évidente est la suivante:

Si $C(X)$ est localement compact, alors $X$ est localement compact.

En réalité, $X$ est homéomorphe à la base $X \times \{0\}$ de $C(X)$ qui est fermé dans $C(X)$, donc localement compact.

Si $X$ est localement compact, alors clairement le sous-espace ouvert $C(X) \setminus \{*\} \approx X \times [0,1)$ est localement compact, où $*$ est la pointe de $C(X)$, c'est-à-dire la classe d'équivalence commune des points de $X \times \{1\}$.

Il me semble qu'un non-compact $X$ne peut pas avoir un cône localement compact. La raison en est que si$C(X)$ est localement compact, alors $*$doit avoir un voisinage compact. Je peux prouver un résultat partiel (voir ma réponse à ma propre question). Mais je suis intéressé de savoir s'il existe un théorème plus général.

Réponses

2 PaulFrost Dec 16 2020 at 06:12

Voici une réponse partielle.

Laisser $X$être un espace normal (y compris Hausdorff) dénombrable paracompact. Ensuite, les éléments suivants sont eqiuvalent:

  1. $X$ est compact.

  2. $C(X)$ est compact.

  3. $C(X)$ est localement compact.

Ceci s'applique à tous les espaces paracompact Hausdorff $X$, en particulier à tous les métrisables $X$.

L'équivalence de 1. et 2. est évidente, et 2. implique 3. Il reste à montrer que 3. implique 1. Notre stratégie est d'intégrer $X$ en tant que sous-ensemble fermé d'un voisinage compact de la pointe $*$ de $C(X)$. Cela se fera en déplaçant la base$X \times \{0\}$ de $C(X)$ vers $*$.

Laisser $U$ être un quartier ouvert de $*$ dans $C(X)$ avec fermeture compacte $K \subset C(X)$. Si$p : X \times I \to C(X)$ désigne la carte de quotient, alors $V = p^{-1}(U)$ est un quartier ouvert de $X \times \{1\}$ dans $X \times I$. Pour chaque$x \in X$ laisser $f(x) = \inf\{ t \in I \mid \{x \} \times [t,1] \subset V \}$. Clairement$0 \le f(x) < 1$ car $V$est ouvert. en outre$\{x \} \times (f(x),1] \subset V$. La fonction$f$ est semi-continu supérieur: Soit $f(x) < r$. Choisir$t$ tel que $f(x) < t < r$. ensuite$\{x \} \times [t,1] \subset V$ et donc il existe un quartier ouvert $W_x$ de $x$ dans $X$ tel que $W_x \times [t,1] \subset V$. ensuite$f(y) \le t < r$ pour $y \in W_x$. Puisque$f(x) < 1$ pour tous $x$ et la fonction constante $1$ est semi-continu inférieur, un théorème qui a été prouvé indépendamment par Dowker (voir «On countably paracompact spaces.» Canadian Journal of Mathematics 3 (1951): 219-224 / Theorem 4) et par Katetov (voir «On real-valued functions in topological espaces. "Fund. Math. 38 (1951): 85-91 / Theorem 2) dit qu'il existe un $h : X \to \mathbb R$ tel $f(x) < h(x) < 1$ pour tous $x$. Définir$H : X \to C(X), H(x) = p(x,h(x))$. Ceci est une incorporation: en fait, la restriction$\bar p : X \times [0,1) \stackrel{p}{\to} C(X)$ est une intégration et $\bar h : X \to X \times [0,1), \bar h(x) = (x,h(x))$, est une intégration. En outre,$H(X)$ est fermé dans $C(X)$ et $\bar h(X) \subset V$, Donc $H(X) \subset U \subset K$. Nous concluons que$H(X)$est compact. Donc$X$ est compact.

Mise à jour:

Le théorème ci-dessus dit qu'un espace normal (y compris Hausdorff) dénombrable paracompact $X$ qui n'est pas compact ne peut pas avoir un cône localement compact.

Dans le cas particulier d'un$\sigma$-compact localement compact Hausdorff $X$ nous pouvons donner une preuve alternative qui n'utilise pas le "théorème sandwich" ci-dessus pour les fonctions semi-continues supérieures et inférieures.

Alors laisse $C(X)$ être localement compact, $U$ être un quartier ouvert de $*$ dans $C(X)$ avec fermeture compacte $K \subset C(X)$ et $V = p^{-1}(U)$ qui est un quartier ouvert de $X \times \{1\}$ dans $X \times I$.

Nous avons $X = \bigcup_{n=1}^\infty K_n$ avec compact $K_n \subset X$ tel que $K_n \subset \operatorname{int}K_{n+1}$. Il existe ouvert$W_n \subset X$ et $t_n \in (0,1)$ tel que $K_n \times \{1\} \subset W_n \times (t_n,1] \subset V$. Wlog, nous pouvons supposer que la séquence$(t_n)$est non décroissant. Notez que$s_n = (1+t_n)/2$ est contenu dans $(t_n,1)$. Laisser$B_n = \operatorname{bd} K_n$ qui est compact (mais peut-être vide; dans ce cas $K_n$est clopen). Les décors$C_n = K_n \setminus \operatorname{int}K_{n-1}$ sont compacts et contiennent l'ensemble disjoint $B_n$ et $B_{n-1}$ (formellement nous définissons $K_0 = \emptyset$). Nous construisons de manière inductive continue$f_n : C_n \to I$ comme suit: Pour $n=1$ laisser $f_1(x) = s_2$. Donné$f_1,\ldots, f_n$ tel que $f_i(x) = s_i$ pour $x \in B_{i-1}$, $f_i(x) = s_{i+1}$ pour $x \in B_i$ et $f_i(x) \in [s_i,s_{i+1}]$ pour tous $x \in C_i$ nous utilisons le théorème d'Urysohn pour trouver $f_{n+1} : C_{n+1} \to I$ tel que $f_{n+1}(x) = s_{n+1}$ pour $x \in B_n$, $f_{n+1}(x) = s_{n+2}$ pour $x \in B_{n+1}$ et $f_{n+1}(x) \in [s_{n+1},s_{n+2}]$ pour tous $x \in C_{n+1}$. La collection de tous ces$f_n$, $n \in \mathbb N$, peut être collé sur un $f : X \to I$ avoir la propriété qui $(x,f(x)) \in V \setminus X \times \{1\}$. En fait, pour$x \in C_n$ nous avons $f(x) = f_n(x) \in [s_n,s_{n+1}] \subset (t_n,1)$ Et ainsi $(x,f(x)) \in C_n \times (t_n,1) \subset W_n \setminus X \times \{1\} \subset V \setminus X \times \{1\}$. Par construction$X' = \{(x,f(x)) \mid x \in X \}$ est un sous-ensemble fermé de $C(X)$ qui est homéomorphe à $X$ et, étant un sous-ensemble fermé de $K$, compact.