Que faut-il pour prouver que l'espace tangent sur une variété est un espace vectoriel? [dupliquer]
Je travaille actuellement sur la définition des vecteurs tangents étant des classes d'équivalence de courbes. Donc$v =[\gamma]$ et $w=[\sigma]$ où $v,w$sont les vecteurs. Je veux prouver que la somme de ces deux classes d'équivalence est aussi une classe d'équivalence pour lui donner la structure d'espace vectoriel. Nous définissons la somme comme:
$v+w= [\phi^{-1} \circ (\phi \circ \gamma + \phi \circ \sigma)]$
où $\phi$est un graphique. Je comprends que les courbes ne peuvent pas être ajoutées lorsqu'elles appartiennent à la variété, c'est pourquoi nous mappons d'abord dans les réels où cela peut être effectué. Alors maintenant que la somme est définie, comment puis-je prouver qu'il s'agit d'une autre classe au point$p$ sur $M$. Suffit-il de s'assurer que la carte passe$p$? Les mêmes questions valent pour la multiplication par le scalaire. Merci
Réponses
Après avoir lu votre message plus attentivement, voici un résumé en une phrase de votre erreur: vous essayez d'ajouter (et de multiplier de manière scalaire) les courbes dans$\Bbb{R}^n$, plutôt que leurs vitesses. Comme vous l'avez observé, l'ajout des courbes gâche les choses avec les points de base.
En tant qu'ensemble, nous avons $T_pM$ est l'ensemble des classes d'équivalence des courbes lisses, $[\gamma]$, où $\gamma$ est défini sur un intervalle ouvert contenant $0$ tel que $\gamma(0)=p$. Maintenant, pour n'importe quel graphique$(U,\phi)$ sur le point $p$, considérez la fonction $F_{\phi,p}:T_pM \to \Bbb{R}^n$ défini comme \begin{align} F_{\phi,p}([\gamma]):= (\phi\circ \gamma)'(0). \end{align}Cette fonction est bien définie en raison de la façon dont la relation d'équivalence est définie. Notez la signification intuitive:$\gamma$ est une courbe avec des valeurs dans la variété $M$, donc si nous utilisons un graphique, nous pouvons obtenir une courbe correspondante $\phi\circ \gamma$ avec des valeurs dans l'espace de Banach (c'est-à-dire un espace vectoriel normé) $\Bbb{R}^n$, et nous savons comment le calcul fonctionne dans le cadre des espaces vectoriels. Alors, toute cette carte$F_{\phi,p}$ est-ce que ça prend une courbe $[\gamma]$ et le mappe au "vecteur vitesse" $(\phi\circ \gamma)'(0)$. J'espère que c'est intuitif (sinon, dessinez simplement quelques images pour voir où se trouve chaque objet).
Maintenant, il est également facile de vérifier que $F_{\phi,p}$est une fonction bijective; Je vous laisse le soin de vérifier que$G_{\phi,p}:\Bbb{R}^n\to T_pM$ défini comme \begin{align} G_{\phi,p}(v):= [t\mapsto \phi^{-1}(\phi(p)+tv)] \end{align}est la fonction inverse. En mots, ce que nous faisons, c'est que nous prenons un vecteur$v\in\Bbb{R}^n$, et compte tenu de la ligne droite $t\mapsto \phi(p)+tv$. Ceci est une courbe basée au point$\phi(p)$, dans la direction $v$. Puisque$\phi$ est un homéomorphisme, il s'ensuit que pour des valeurs assez petites de $t$, nous avons $\phi(p)+tv\in \phi(U)=\text{domain}(\phi^{-1})$, on peut donc considérer la classe d'équivalence de la courbe $t\mapsto \phi^{-1}(\phi(p)+tv)$.
Alors, qu'est-ce que toute cette notation supplémentaire a donné? Eh bien, nous avons une fonction bijective$F_{\phi,p}:T_pM\to \Bbb{R}^n$, et bien sûr, $\Bbb{R}^n$ est un espace vectoriel, donc par algèbre linéaire de base, nous pouvons "retirer" la structure d'espace vectoriel de $\Bbb{R}^n$ pour faire $F_{\phi,p}$un isomorphisme linéaire. Explicitement, ce que je veux dire, c'est que nous pouvons définir l'addition et la multiplication scalaire$+_{\phi}$ et $\cdot_{\phi}$ (Je mets l'indice car tout dépend du graphique jusqu'à présent) comme suit: \begin{align} \begin{cases} [\gamma_1]+_{\phi} [\gamma_2]&:= F_{\phi,p}^{-1}\bigg(F_{\phi,p}([\gamma_1])+ F_{\phi,p}([\gamma_2])\bigg)\\ c\cdot_{\phi}[\gamma]&:= F_{\phi,p}^{-1}\bigg(c\cdot F_{\phi,p}([\gamma])\bigg) \end{cases} \end{align}
Si vous détendez toutes les définitions, alors \begin{align} c\cdot_{\phi}[\gamma_1]+_{\cdot}[\gamma_2]= [t\mapsto \phi^{-1}\left(\phi(p) + t(c\cdot (\phi\circ \gamma_1)'(0)+(\phi\circ \gamma_2)'(0))\right)] \end{align} Espérons que l'idée est assez claire: vous avez une bijection, donc vous faites tout simplement avancer, faites les calculs en $\Bbb{R}^n$, puis ramenez tout à $T_pM$, et c'est ainsi que l'addition et la multiplication scalaire sont définies. Je vous laisse que tous les axiomes de l'espace vectoriel sont satisfaits et que$F_{\phi,p}$ est un isomorphisme linéaire etc.
Une dernière chose à noter est que jusqu'à présent, l'addition et la multiplication scalaire ont été définies à l'aide d'un graphique particulier $(U,\phi)$, mais en fait, c'est un simple exercice de règle de chaîne pour vérifier que si vous avez un graphique différent $(V,\psi)$, puis $+_{\phi}=+_{\psi}$ et $\cdot_{\phi}=\cdot_{\psi}$, donc la structure de l'espace vectoriel sur $T_pM$ est en fait indépendant du graphique, c'est pourquoi nous le désignons simplement par $+$ et $\cdot$comme d'habitude. Je vous laisse le soin de dérouler les définitions, d'utiliser la règle de chaîne, etc. pour vérifier cela. Si vous rencontrez des problèmes, faites-le moi savoir, je pourrais peut-être en dire plus.