Quel entier positif $n$ maximise la fonction $f(n) = \sigma_0(n)/n$?

Question

Un ami et moi avions une discussion sur la meilleure base. J'ai soutenu que 12 serait le meilleur car il a le plus de diviseurs par rapport à sa taille. Cependant, je ne suis pas sûr que 12 soit réellement le nombre qui maximise ce ratio. Pour enquêter, j'ai formalisé mon observation en affirmant que 12 maximise la fonction$f(z) = \sigma_0(z)/z$ où $\sigma_0(n) = \sum_{d|n} d^0$ est la fonction qui compte les diviseurs de $n$. J'ai trouvé des articles et des propriétés intéressantes de$\sigma_0$mais rien dont j'ai pu me servir pour prouver cette propriété. Je ne suis pas trop familier avec ce genre de choses, donc je ne savais pas exactement comment s'y prendre.

Quelqu'un a-t-il une idée de la façon dont on pourrait le prouver? À l'heure actuelle, il semble que la formule qui serait la plus utile serait que$$\sigma_o(n) = \Pi_{i = 1}^{\omega(n)}(1 - a_i)$$ où $\omega(n)$ est le nombre de facteurs premiers distincts de $b$ pour que $n = \Pi_{i = 1}^{\omega(n)}p_i^{a_i}$.

Merci d'avance!

EDIT: En y réfléchissant un peu plus, il semble que 12 ne maximise certainement pas cela. Par exemple, 6 a 4 diviseurs alors que 12 en a 6. Comme un commentateur l'a également souligné, 3 a 2 diviseurs. Le meilleur semble cependant être 2, avec deux diviseurs. Si$\sigma_0(n) = n$, alors pour tous $m \leq n$, on aurait ça $m|n$. Cela impliquerait que chaque prime inférieure à$n$ serait inclus dans la factorisation première de $n$. C'est une propriété assez forte que je soupçonne que seulement 2 détient.

Answer 1

Notez d'abord que $\displaystyle \frac{\sigma_0(n)}{n} = \prod_p \frac{\alpha_p+1}{p^{\alpha_p}}$ où $\alpha_p \ge 0$.

Mais $\displaystyle\frac{\alpha_p+1}{p^{\alpha_p}} < 1$ pour tous les meilleurs $p$ et tout $\alpha >0$ à la seule exception de $p = 2$ et $\alpha = 1$, ce qui signifie que le maximum est atteint lorsque toutes les $\alpha$sont $0$ ($n = 1$) ou quand tout sauf $\alpha_2$ sont $0$ et $\alpha_2 = 1$ (n = 2).

Answer 2

De cette réponse , nous savons que

$$\sigma_0(n)\leq n^{\frac{1.0660186782977...}{\log \log n}}<n^{ \frac{2}{\log \log n}}$$

(avec égalité à $n=6983776800$). Cela implique alors que

$$\frac{\sigma_0(n)}{n}<n^{ \frac{2}{\log \log n}-1}$$

Maintenant, il est facile de voir que pour $n\geq 1619$ nous avons

$$\frac{2}{\log \log n}-1<0$$

Puis pour $n\geq 1619$ nous savons

$$\frac{\sigma_0(n)}{n}<n^{ \frac{2}{\log \log n}-1}<n^0=1$$

Mais

$$\frac{\sigma_0(1)}{1}=\frac{\sigma_0(2)}{2}=1$$

Maintenant, nous n'avons plus qu'à vérifier tous les entiers $3\leq n\leq 1618$. Ceux-ci sont facilement vérifiés et nous concluons que la fonction est maximisée à$n\in\{1,2\}$.

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EDIT: Si vous vouliez le cas $n\geq 3$, puis de la même manière que nous voyons $n\geq 2880$ nous avons

$$n^{\frac{2}{\log \log n}-1}<\frac{3}{4}$$

Puis après avoir vérifié tous les nombres entiers $5\leq n\leq 2879$ on peut conclure que la fonction est maximisée à $n=4$ où

$$\frac{\sigma_0(4)}{4}=\frac{3}{4}$$