Quelle est la condition pour un groupe $G$être égal au produit de deux sous-groupes normaux
Si$G$est un groupe et$N,M$sont deux sous-groupes normaux. Nous savons que le produit$NM$est un sous-groupe normal de$G$, mais quand puis-je dire que$G=NM$. Quelles doivent être les conditions de$N,M$?
Réponses
En supposant que tous les groupes mentionnés dans ces exemples sont finis.
Un exemple : si$|G:M|$et$|G:N|$sont premiers entre eux , alors$G=NM$. Preuve:$|G:NM| \mid |G:M|$et$|G:NM| \mid |G:N|$.
Autre exemple : si$|M|$et$|N|$sont premiers entre eux et$|G|=|N| \cdot |M|$, ensuite$G=NM$.
Encore un autre exemple : si$M$est un sous-groupe maximal et$N \not \subseteq M$, ensuite$G=NM$.
Si vous êtes familier avec la théorie (ordinaire) des caractères des groupes finis : si$\varphi$est un personnage de$M$et la restriction d'induction$(\varphi^G)_N$est irréductible, alors$G=NM$.
Il y a une question plus générale, qui a été étudiée de manière intensive, à savoir quand peut-on dire que$G=AB$pour les sous-groupes$A,B$? De tels groupes$G$sont dits factorisables et il existe une abondante littérature à leur sujet.
Il y a des conditions triviales, par exemple, que$AB$est un sous-groupe de$G$si et seulement si$AB=BA$, voir
Laisser$A,B$être des sous-groupes d'un groupe$G$. Prouver$AB$est un sous-groupe de$G$si et seulement si$AB=BA$
Références sur les groupes factorisables : par exemple Arad , et de nombreux articles d'Amberg,B. Franciosi, S. et Degiovanni et autres, également des articles de Gorenstein, Herstein .
Pour plus de références, voir aussi ce post MO .