Quelle est la courbure moyenne d'un cylindre infiniment long ?

Question

Quelqu'un peut-il m'aider à comprendre comment je peux calculer la courbure moyenne d'un cylindre de rayon infiniment long$R$? Je connais la définition de la courbure moyenne comme

$H = \frac{1}{2}(\kappa_1 + \kappa_2)$

où$\kappa_i$est le$i$ème courbure principale. Comme le cylindre est infiniment long, je pense$\kappa_2 = 0$(le long de l'axe). Quelqu'un peut-il confirmer cela?

Alors la courbure moyenne d'un cylindre infiniment long de rayon$R$serait simplement

$H = \frac{1}{2R}$

Merci de votre aide!

Answer 1

Votre résultat est correct.

Sélectionnez un point sur la surface cylindrique. Vous devez vous convaincre qu'une direction principale est perpendiculaire à l'axe du cylindre (mais à partir de votre point de la surface). Dans cette direction, la surface ressemble à un cercle de rayon$R$, donc la courbure principale pour cette direction est$\kappa_1=\frac1R$. L'autre direction principale est parallèle à l'axe du cylindre, et le long de cette direction, les surfaces ressemblent (localement près de votre point) à une ligne droite, donc$\kappa_2=0$. Donc à partir de la formule$H=\frac12 (\kappa_1+\kappa_2)$vous obtenez la courbure moyenne que vous mentionnez.

Comme le dit TonyK, c'est la même chose pour n'importe quel point que vous choisissez. Donc, si vous considérez$H$en tant que fonction, mappant chaque point de la surface à un nombre réel, puis$H$est constant, pour la surface cylindrique.

Comme nous le voyons, la courbure moyenne est une propriété locale , donc peu importe si le cylindre est infiniment long ou non ; tant qu'il y a un voisinage autour du point que vous considérez, où la surface est un cylindre, alors la courbure moyenne en ce point est$\frac1{2R}$.