Quelle est la signification de cet homomorphisme coboundary pour l'hypercohomologie de groupe?

Question

$\require{AMScd}$ Laisser $\Gamma=\{1,\gamma\}$ être un groupe d'ordre 2. Dans mon problème de la cohomologie galoisienne des groupes réductifs réels, je suis arrivé à un $\Gamma$-modules (groupes abéliens avec $\Gamma$-action) \ begin {équation *}% \ label {e: cd} \ begin {CD} 1 @ >>> Q_1 @ >>> Q_2 @ >>> Q_3 @ >>> 1 \\ @. @VV {\ rho_1} V @VV {\ rho_2} V @VV {\ rho_3} V \\ 1 @ >>> X_1 @ >>> X_2 @ >>> X_3 @ >>> 1 \\ @. @VV {\ alpha_1} V @VV {\ alpha_2} V @ VV {\ alpha_3} V \\ 1 @ >>> P_1 @ >>> P_2 @ >>> P_3 @ >>> 1 \\ \ end {CD } \ end {équation *} dans laquelle les lignes sont exactes, mais pas les colonnes (et$\alpha_k\circ\rho_k\neq 0$). Les lignes du haut et du bas du diagramme se divisent canoniquement:$$Q_2=Q_1\oplus Q_3\quad\text{ and }\quad P_2=P_1\oplus P_3,$$ et ces clivages sont compatibles: $$ \alpha_2(\rho_2(0,q_3))= \big(\,0,\,\alpha_3(\rho_3(q_3))\,\big)\tag{$*$} $$ pour $q_3\in Q_3$. Je considère les groupes d'hypercohomologie Tate$${\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)\quad\text{ and } \quad{\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1),$$ où les deux complexes courts sont en degrés $(-1,0)$.

Ci-dessous je construis "à la main" un homomorphisme coboundary canonique $$\delta\colon\, {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\to X _3)\,\longrightarrow\, {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1),$$

Question. Comment puis-je obtenir cet homomorphisme coboundary à partir d'une sorte de théorie générale?

Remarque. Pour un groupe$\Gamma$d'ordre 2 (et aussi pour tout groupe cyclique$\Gamma$) la cohomologie et l'hypercohomologie de Tate sont périodiques avec la période 2. Par conséquent, notre $\delta$ est une carte $${\Bbb H}^1(\Gamma,\, Q_3\to X_3\to 0)\, \longrightarrow \, {\Bbb H}^2(\Gamma,\, 0\to X_1\to P_1),$$ où les deux complexes sont en degrés $(-2,-1,0)$.

Construction. Nous commençons par$[ q_3, x_3]\in {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)$. Ici$( q_3, x_3)\in Z^0(\Gamma,Q_3\to X _3)$, c'est-à-dire \ begin {équation} q_3 \ dans Q_3, \ quad x_3 \ dans X_3, \ quad \, ^ {\ gamma \ kern -0.8pt} q_3 + q_3 = 0, \ qquad \, ^ {\ gamma \ kern -0,8pt} x_3- x_3 = \ rho_3 (q_3). \ Tag {$**$} \ end {equation} Nous levons canoniquement $ q_3$ à $$ q_2=(0, q_3)\in Q_1\oplus Q_3= Q_2,$$ et nous soulevons $ x_3$à certains $ x_2\in X _2$. Nous écrivons$$\alpha_2( x_2)=( p_1, p_3)\in P_1\oplus P_3=P_2,$$ où $ p_3=\alpha_3( x_3)\in P_3$ et $ p_1\in P_1$. Nous fixons$$ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2-\rho_2( q_2).$$ Depuis par $(*)$ on a $$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_3- x_3=\rho_3( q_3),$$ on voit ça $ x_1\in X _1$. Nous calculons:$$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_1+ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt}(\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-{}^{\gamma\kern -0.8pt}\rho_2(0, q_3)+ (\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-\rho_2(0, q_2)=-\rho_2(0,\,^{\gamma\kern -0.8pt} q_3+ q_3)=0$$ par $(**)$. Par ailleurs,\begin{align*} \alpha_1( x_1)&=\,^{\gamma\kern -0.8pt}\alpha_2(x_2)-\alpha_2(x_2)-\alpha_2(\rho_2(q_2))\\ &=\,^{\gamma\kern -0.8pt}( p_1, p_3)-( p_1, p_3)-( 0,\alpha_3(\rho_3( q_3)))\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_3-p_3-\alpha_3(\rho_3(q_3))\big)\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,\alpha_3(\,^{\gamma\kern -0.8pt}x_3-x_3-\rho_3(q_3))\big)\\ &=(\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1- p_1,0) \end{align*} par $(*)$ et $(**)$. Ainsi$$\alpha_1(x_1)=\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1-p_1.$$ On voit ça $(x_1, p_1)\in Z^0(\Gamma, X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1)$. Nous fixons$$\delta[ q_3, x_3]=[ x_1, p_1]\in {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1).$$ Une simple vérification montre que la carte $\delta$ est un homomorphisme bien défini.

Answer 1

Je pense que le moyen le plus simple de gérer cela est le formalisme des catégories triangulées. Vous pouvez le faire de différentes manières: soit travailler avec la catégorie dérivée illimitée ou (probablement plus facile) remplacer chaque module$M$ avec $\operatorname{Hom}_\Gamma(\mathcal R,M)$ où $\mathcal R$ est la résolution complète pour $\Gamma$, c'est-à-dire le complexe 2-périodique non borné standard $$\cdots\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\cdots$$de $\Gamma$-modules.

Laissez alors $X_1\to X_2\to X_3\to\Sigma X_1$ être un triangle exact dans une catégorie triangulée arbitraire, et soit $Q_3\to X_2\to P_1$être des morphismes arbitraires avec zéro composite. Laisser$P$ être la fibre de $X_1\to P_1$ et laissez $Q$ être le cofibre de $Q_3\to X_3$. Notre objectif est de construire à partir de tout cela une carte canonique$Q\to\Sigma P$. Il s'avère qu'il existe une telle carte qui est d'ailleurs un isomorphisme si et seulement si$Q_3\to X_2\to P_1$ est exact.

Depuis le composite $Q_3\to X_2\to P_1$ est zéro, la carte $X_2\to P_1$ facteurs par cofibre de $Q_3\to X_2$, $X_2\to Q_0$, et la carte $Q_3\to X_2$ facteurs à travers la fibre $P_0\to X_2$ de $X_2\to P_1$. Donc dans l'ensemble$X_1\to P_1$ facteurs dans le composite $X_1\to X_2\to Q_0\to P_1$, tandis que $Q_3\to X_3$ facteurs dans le composite $Q_3\to P_0\to X_2\to X_3$.

Notons tout d'abord que, dans ces circonstances, le cofibre de $Q_3\to P_0$ est isomorphe à la fibre de $Q_0\to P_1$; le dénotant par$H$, le composite $P_0\to H\to Q_0$ est le composite $P_0\to X_2\to Q_0$.

Nous obtenons huit instances de l'axiome octaèdre, nous indiquant que pour divers composites $f\circ g$ il y a des triangles exacts $\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)\to\operatorname{cofibre}(f\circ g)\to\operatorname{cofibre}(f)=\Sigma\operatorname{fibre}(f)$ et $\operatorname{fibre}(g)\to\operatorname{fibre}(f\circ g)\to\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)=\Sigma\operatorname{fibre}(g)$. À proprement parler, ils ne sont pas tous nécessaires, mais pour être complets, permettez-moi de les énumérer tous.

La paire composable	donne le triangle exact
$Q_3\to P_0\to X_2$	$H\to Q_0\to P_1\to\Sigma H$
$Q_3\to X_2\to X_3$	$X_1\to Q_0\to Q\to \Sigma X_1$
$Q_3\to P_0\to X_3$	$\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$
$P_0\to X_2\to X_3$	$P\to X_1\to P_1\to\Sigma P$
$X_1\to X_2\to Q_0$	$Q_3\to X_3\to Q\to\Sigma Q_3$
$X_1\to X_2\to P_1$	$P\to P_0\to X_3\to\Sigma P$
$X_1\to Q_0\to P_1$	$\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$
$X_2\to Q_0\to P_1$	$Q_3\to P_0\to H\to\Sigma Q_3$

Pour tout mettre dans un seul diagramme - dans ce qui suit, les lignes avec trois objets représentent des triangles exacts; tout fait la navette.