Quelle est la signification du volume du système dynamique
https://en.wikipedia.org/wiki/Dynamical_systemexplique que le volume de l'espace d'états ou de l'espace des phases est invariant. La note de cours intitulée "11 attracteurs étranges et Lyapunov dim." extrait du livre de Strogatz montre dans l'eq (2) une transformation coordonnée du volume. Je veux comprendre si la preuve montrée dans la note signifie que le volume de systèmes avec un attracteur étrange est invariant sous une sorte de transformation telle que la transformation de coordonnées. Par transformation de coordonnées, nous pouvons générer la reconstruction de l'espace de phase et en utilisant cela, nous pouvons obtenir un attracteur étrange . Lors du choix approprié du paramétrage du système dynamique chaotique, nous pouvons voir l'étrange. Mais je suis incapable de comprendre la preuve.
Question: Quelqu'un peut-il montrer comment prouver que le volume des systèmes ayant des attracteurs étranges est invariant à la transformation et ce que cela signifie.
Le volume des attracteurs étranges diminue-t-il ou augmente-t-il?
MISE À JOUR: 18 août
Sur la base de la discussion sous les commentaires, voici ce que je pourrais écrire à partir de tout ce que je pourrais comprendre. Appréciera l'aide pour terminer la rédaction de l'épreuve de manière élégante.
Preuve: le volume d'attracteur étrange montré par les systèmes en dynamique chaotique est invariant sous une certaine transformation et est une mesure ou une métrique.
Mon idée est que, laissez $n_a$ être la dimension de l'attracteur et $d$ être la dimension d'enrobage et l'attracteur a un volume $v$ avec une dimension attracteur $n_a$. Si des séries temporelles à valeurs scalaires sont disponibles, nous pouvons reconstruire l'attracteur en$d$ espace de phase dimensionnel par la méthode d'incorporation de retard de Takens, $d \ge 2n+1$ où $n$est la dimension du système observé. Nous n'avons pas connaissance de la valeur réelle de$n_a$. Depuis, pour le volume des systèmes dissipatifs$v \le 0$, si et seulement si $n \le n_a$, et est égal à zéro puisque sa dimension est inférieure à $n_a$. Par conséquent, tout système dissipatif préserve le volume de l'attracteur, qui est nul. En ce qui concerne le changement de coordonnées, puisque l'attracteur est un zéro de mesure, l'image de l'attracteur sous toute carte lisse sera également une mesure de zéro.
Maintenant, comment puis-je prouver que l'attracteur est une mesure définie à zéro et est une métrique comme la mesure de Lebesgue? Quelqu'un peut-il s'il vous plaît aider à rédiger officiellement cette preuve? Je vous remercie.
Réponses
Quand ils parlent de volume, ils veulent vraiment dire «mesurer». Une mesure sur un espace$X$ est une fonction $\mu$ qui attribue des longueurs (ou des zones, ou des volumes, ou des probabilités - l'espace spécifique $X$ ou le contexte dicte généralement la façon dont vous pensez de ce que la mesure est, eh bien, mesure) aux «beaux» sujets de $X,$ où «gentil» signifie au préalable que quelqu'un a sélectionné des sous-ensembles de $X$que nous pouvons mesurer. Ceux-ci sont appelés les ensembles mesurables.
Une carte $T : X\rightarrow X$ est dit être $\mu$-invariant si (a) chaque fois $S$ est mesurable, tout comme $T^{-1}(S)$, et B) $\mu(T^{-1}S) = \mu(S)$ n'importe quand $S$ est mesurable.
Quant à la façon de le vérifier, cela dépend beaucoup des détails. Une astuce incroyablement courante et utile est que vous n'avez pas besoin de vérifier que les conditions (a) ou (b) sont vérifiées pour chaque sous-ensemble mesurable - si vous vérifiez (a) et (b) sur une famille d'ensembles qui `` génère '' la collection d'ensembles mesurables, alors vous pouvez en conclure qu'elle tient partout. Par exemple, si votre espace était$X = [0, 1]$ avec la "mesure de Lebesgue" habituelle attribuant un sous-ensemble de $X$ c'est la longueur, il suffit de vérifier que $T$ préserve les mesures d'intervalles.
Quelques choses:
- Remarquez la note sous l'équation 2:
Les systèmes dissipatifs ont des attracteurs, tandis que les systèmes de conservation du volume ne peuvent pas avoir d'attracteurs ni de répulsifs.
Cela est vrai dans le sens où "volume" signifie la mesure de Lebesgue, c'est-à-dire la définition normale du volume sur $\mathbb{R}^n$. Les attracteurs sont nécessairement d'une dimension inférieure à l'espace des phases lui-même, donc son volume (au sens de Lebesgue) doit être égal à 0; par exemple, le volume d'une surface en$\mathbb{R}^3$est 0 puisque la surface est à 2 dimensions. Peut-être que cette préservation du volume est triviale car l'attracteur a forcément un volume de Lebesgue nul.
Cela semble donc répondre à votre question à première vue. Cependant, la dynamique des attracteurs étranges est généralement ergodique , c'est la section que vous lisez dans le premier article de Wikipédia. La dynamique ergodique a généralement ce qu'on appelle une mesure invariante , ce qui signifie qu'il existe une certaine notion de volume (la mesure) qui est préservée par la dynamique (invariante). Par conséquent, si l'on peut paramétrer l'attracteur, c'est-à-dire trouver un changement de coordonnées de$\mathbb{R}^n$ à l'attracteur, alors le «volume» au sens de la mesure invariante de l'attracteur et de la dynamique sera en effet préservé.