Quelle est la solution de $x^3+x=1$? [fermé]

Question

Selon Wolfram | Alpha, la solution de $x^3+x=1$ est approximatif $0.68233$ou exactement cette monstruosité :

$x_0=\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{2}(9+\sqrt{93})}}{3^{\frac{2}{3}}}-\sqrt[3]{\frac{2}{3(9+\sqrt{93})}}$

$x^3+x=1$est si simple, que je refuse de croire que cette conception laide est la manière la plus simple. Ai-je raison?

Answer 1

$$ \left( \frac{1}{2} \left( 1 + \sqrt{\frac{31}{27}} \right) \right)^{1/3} + \left( \frac{1}{2} \left( 1 - \sqrt{\frac{31}{27}} \right) \right)^{1/3} $$

Answer 2

Alternativement $$x=\frac2{\sqrt3}\sinh\left( \frac13\sinh^{-1}\frac{3\sqrt3}2\right)$$ ce qui peut être moins monstrueux.

Answer 3

Vous pouvez réorganiser x ^ 3 + x = 1 comme x ^ 3 = 1 - x, et laissez x = u + v.Notez que par le théorème binomial, (u + v) ^ 3 = u ^ 3 + 3vu ^ 2 + 3uv ^ 2 + v ^ 3 = u ^ 3 + v ^ 3 + 3uv (u + v), ce qui suggère que u ^ 3 + v ^ 3 = 1, tandis que -1 = 3uv. -1 = 3uv implique v = -1 / (3u), donc u ^ 3 - 1 / (27u ^ 3) = 1, ce qui implique 27u ^ 6 - 1 = 27u ^ 3. Vous pouvez réorganiser cela comme 27 (u ^ 3) ^ 2 - 27u ^ 3 - 1 = 0. Il s'agit d'un quadratique par rapport à u ^ 3, vous pouvez donc utiliser la formule quadratique pour conclure que u ^ 3 = [27 + sqrt (93)] / 54 ou u ^ 3 = [27 - sqrt (93)] / 54, même si cela n'a vraiment pas d'importance, puisque v ^ 3 sera toujours le conjugué de u ^ 3. Par conséquent, x = u + v = cbrt ([27 + ​​sqrt (93)] / 54) + cbrt ([27 + ​​sqrt (93)] / 54). C'est finalement équivalent à ce qui a été posté, cela nécessite juste quelques manipulations algébriques pour y arriver. Et oui, c'est la manière la plus simple d'écrire la réponse. C'est ce que c'est. Malheureusement, les problèmes simples n'ont pas toujours de solutions simples. Et les lois de la logique ne se soucient pas de notre concept chétif de simplicité de toute façon.

Answer 4

Si on réorganise $x^{3}+x= 1$ comme

$x^{2} + 1 = \frac1x$

puis la figure ci-jointe montre une approche alternative pour obtenir la solution (réelle) de manière itérative, en commençant par une approximation de racine (par exemple $x_0=0.5$ sur la figure), en calculant $x_0^{2} + 1$ pour obtenir la première itération $x_1=\frac{1}{x_0^{2}+1}$etc. En comparaison avec les manières inévitables d'exprimer la solution exacte, l'équation itérative de convergence sur 0,68233 (5 dp) semble assez simple:

$x_{n+1} = \frac{1}{x_n^{2}+1}$

Telle est la symétrie des courbes (je n'ai montré que le quadrant avec racine réelle), il n'y a aucune contrainte sur le choix de la valeur réelle initiale $x_0$ pour parvenir à la convergence.