Quotients de groupes abéliens - Finitude résiduelle et éléments d'ordre$p$

Aug 18 2020

Supposer$A$est un groupe abélien et$\pi$est un ensemble de nombres premiers. UN$\pi$-nombre est un produit de nombres premiers de$\pi$.

Supposons que pour chaque$p \in \pi$,$A_p = \{a \in A : \exists i\in\mathbb{N} \text{ s.t } a^{p^i} = 0\}$a un exposant fini.

Supposons aussi que$A$est$\pi$-réduit; il n'y a pas de sous-groupes non triviaux de$A$qui sont$\pi$-divisible. C'est-à-dire que pour tout$H \leq A$il y a$h \in H$et$m$un$\pi$-nombre tel que pour tout$x \in H$,$x^m \neq h$.

Laisser$j \in \mathbb{N}$,$p \in \pi$et$m = p^jn$un$\pi$-numéro où$n$est relativement premier à$p$.

  1. pourquoi est-ce$A/A^m$résiduellement fini ?

  2. pourquoi$A^{p^j}/A^m$n'ont aucun élément d'ordre$p$?

Voici le contexte des groupes infinis solubles :

Réponses

1 EricWofsey Aug 19 2020 at 05:05

$A/A^m$est un groupe abélien d'exposant fini (en particulier, exposant divisant$m$), et tout groupe abélien d'exposant fini est une somme directe de groupes cycliques et en particulier résiduellement finie. Voir par exemple les réponses au groupe abélien infini où tous les éléments sont d'ordre 1, 2 ou 4 .

Puisque chaque élément$a\in A/A^m$satisfait$a^m=1$, tous$p^j$ème puissance$a^{p^j}$satisfait$(a^{p^j})^n=1$. Ainsi l'ordre de$a^{p^j}$divise$n$, et ne peut donc être$p$. C'est-à-dire,$A^{p^j}/A^m$n'a pas d'éléments d'ordre$p$.