Recherche d'un point entre l'intersection de deux plans

Question

Lors de l'exercice de recherche d'une ligne entre deux intersections de plans, nous avons besoin de trouver un vecteur point et direction de la ligne. Le vecteur de direction est facile car il est perpendiculaire aux deux normales, mais je suis un peu confus sur la façon de prendre le point.

Supposons qu'on nous donne l'équation de deux plans,

$$P_1 : A_1 x + B_1 y +C_1 z+ D = 0$$

Et,

$$ P_2 : A_2 x +B_2 y +C_2 z +D = 0$$

Pour trouver un point le long de la ligne d'intersection, il est souvent demandé de mettre l'une des coordonnées à zéro, disons $x, y$ ou $z$puis résolvez les coordonnées restantes. Mais, je ne sais pas pourquoi nous faisons cela, comme dans, comment savons-nous que la ligne entre l'intersection de deux lignes devrait toujours avoir$x$ , $y$ et $z$ intercepte?

J'ai vu cet article mais je ne pensais pas qu'il répondait à ma requête et il n'a pas non plus été abordé dans celui-ci

Answer 1

Supposer que $\left|\begin{matrix} A_1&B_1 \\ A_2 & B_2\end{matrix}\right| = A_1B_2-B_1A_2\neq 0$. Ensuite, vous pouvez reformuler le problème comme suit:

$$\begin{pmatrix} A_1&B_1 \\ A_2 & B_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} C_1 z + D_1 \\ C_2 z+D_2\end{pmatrix} $$ et résoudre pour $x$ et $y$: $$ \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} C'_1 z + D'_1 \\ C'_2 z+D'_2\end{pmatrix} $$ Cela montre que pour tout $z=t\in{\Bbb R}$ vous obtenez une solution unique pour $x$ et $y$. Ce qui se passe ici, c'est que l'intersection des deux plans$P_1,P_2$ avec l'avion $z-t=0$ fournit deux droites non parallèles (en raison du déterminant AB non nul) dans le $x-y$avion. Ces deux droites ont donc un point d'intersection unique.

Maintenant, lorsque votre déterminant AB ci-dessus est zéro (donc vos deux lignes dans le $x-y$ plan sont parallèles) alors vous pouvez rechercher un non nul $B-C$ matrice (et résoudre pour $y,z$) ou un non nul $C-A$ matrice (et résoudre pour $z,x$). Si tous ces déterminants sont nuls, alors vos deux plans d'origine sont en fait parallèles, donc soit l'intersection est vide, soit c'est un plan.

Notez que les trois déterminants que vous calculez sont en fait la composante du produit croisé des vecteurs normaux pour les plans, de sorte que le produit croisé ne disparaissant pas est en effet une condition pour que l'intersection soit une ligne.

Answer 2

On pourrait résoudre ces questions soit en supposant l'un des $(x,y,z)$être zéro, ou en garder un comme une constante. L'intuition derrière le maintien de l'un d'entre eux à zéro est que, la plupart du temps, les lignes que nous obtenons ne sont pas parallèles à un plan, elles doivent donc absolument se croiser.

Quand ce n'est pas un cas, garder la variable zéro donnerait une paire d'équations linéaires incohérente.