Recherche d'un voisinage prescrit sur un collecteur

Question

Étant donné une variété lisse, prouver que pour un ensemble ouvert$U\subset M$on peut toujours trouver un ensemble fermé$\bar{B}\subset U$tel que$B$est un voisinage d'un certain point$p\in U$.

Ma tentative : depuis$M$a base de boules régulières, il existe$B\subset U$qui est une balle régulière, il en existe donc une autre$B'$tel que$\bar{B}\subset B'$. Mais comment montrer qu'il est contenu dans$U$?

Answer 1

Choisir$p\in U$et choisissez une boule de coordonnées$V\ni p$avec$V\subseteq U$. On peut choisir cette boule pour qu'il y ait un difféomorphisme$\phi:V\to B_r(0)\subseteq \Bbb{R}^n$.Ensuite, réglez$W=\phi^{-1}(B_{r/2}(0))$, puis notez que$\overline{W}\subseteq U$et cela$W$est un quartier de$p$.

Remarque : le premier choix de$V$est possible car il existe une base par ensembles ouverts de coordonnées.