Réponse en fréquence double ampli-op
Était à la recherche du placement des condensateurs dans les circuits à double amplificateur opérationnel idéal et est tombé sur ce circuit (R1 = R2 = R3 = 1kOhm, R4 = 10kOhm, C1 = 1uF):
J'ai tenté de déterminer le gain de tension (fonction de transfert) de ce circuit G = (vo / vi), auquel j'obtiens l'expression suivante:
$$\frac{v_o}{v_i}=\frac{R_2}{R_{eq}}\frac{R_4}{R_3}=\frac{R_2R_4}{R_3R_1}(1+sC_1R_1)$$
où Req = (R1 || (1 / sC1)) et s = jw = variable de fréquence.
J'ai décidé de tracer un graphique de Bode pour cette fonction de transfert et j'ai obtenu un résultat instable aux hautes fréquences, comme prévu puisque G s'approche de l'infini lorsque s s'approche de l'infini. Cependant, lorsque je simule ce circuit (j'ai utilisé CircuitLab), le tracé de Bode que j'obtiens est de forme similaire à celle d'un filtre passe-bande.
Cela me fait penser que ma dérivation de la fonction de transfert G est incorrecte, et qu'elle devrait correspondre à la fonction de transfert associée à un filtre passe-bande du 1er ordre. Quelqu'un pourrait-il confirmer mes soupçons?
Réponses
Ce circuit est merveilleusement mauvais, et si j'enseignais un cours de circuits, j'en ferais un problème de devoirs, puis j'en mettrais un dérivé en finale.
Oubliez le deuxième ampli, et R3 et R4. C'est juste une distraction. Pour de très nombreuses combinaisons de pièces du monde réel, la première étape oscille. Là où il n'oscille pas, à une certaine fréquence, il montrera une forte résonance, avec un gain beaucoup plus élevé que prévu \$H_{fs}(s)=\frac{R_2}{R_1}\left(R_1 C_1 s + 1\right)\$.
La raison en est que \$C_1\$met en fait un pôle dans la boucle de rétroaction, et la plupart des amplis-op de nos jours sont stabilisés contre des zéros dans la boucle de rétroaction (c'est-à-dire un plafond en parallèle avec \$R_2\$), ils ne sont pas stabilisés contre les poteaux.
Si vous revenez à KVL, vous constatez que vous pouvez écrire $$v_- = \frac{G_2 v_o + (G_1 + C_1 s)v_i}{G_1 + G_2 + C_1 s} \tag 1$$(où j'utilise la conductance au lieu de la résistance, parce que je suis paresseux - prenez simplement \$G_1 = 1/R_1\$, etc).
Oubliez maintenant ce truc d'ampli op idéal et laissez \$v_o = - H_a(s) v_-\$. Résolvez (1) pour \$v_-\$ et vous obtenez $$V_-(s) = \frac{C_1 s + G_1}{C_1 s + G_2 H_a(s) + G_2 + G_1}V_i(s) \tag 2$$
Dans un ampli-op typique, \$H_a\$ a la forme $$H_a(s) = \frac{\omega_{GBW}}{(s + \omega_0)(\frac{s}{\omega_1} + 1)(\frac{s}{\omega_2} + 1)\cdots(\frac{s}{\omega_\infty} + 1)}\tag 3$$ Habituellement \$\omega_0\$est autour de \$1\mathrm{Hz}\$à \$100\mathrm{Hz}\$, et \$\omega_1\$à travers \$\omega_\infty\$sera supérieur à \$\omega_{GBW}\$, et suffisamment élevé pour que le déphasage de \$H_a\$n'est pas plus de 120 degrés ou plus au gain unitaire, assurant ainsi la stabilité si vous ne dérangez pas .
Cependant, dès que vous mettez ce condensateur sur le chemin aller, vous introduisez un pôle dans le gain de la boucle. Si vous jouez avec (2), vous constaterez que la tendance générale du circuit avec \$C_1\$là-dedans, c'est pour entrer dans la chanson. Si l'ampli-op était un intégrateur parfait ( \$H_a(s) = \frac{\omega_{GBW}}{s}\$), alors vous obtiendrez juste une très grande résonance à peu près à la moyenne géométrique de \$\omega_{GBW}\$et \$\frac{1}{G_2 C_1}\$. Avec tous les vrais pôles de la réponse de l'ampli-op, il oscille - probablement près de la même moyenne géométrique, ou peut-être un peu plus bas.
Je vous suggère de simuler ce circuit avec un vrai modèle d'ampli opérationnel dans le domaine temporel - pas seulement en utilisant un balayage de fréquence. Je ne l'ai pas essayé, mais je pense que vous verrez une oscillation.
Notez que si vous vouliez faire quelque chose comme ça dans le monde réel et que cela fonctionne réellement, vous mettriez une résistance en série avec \$C_1\$. Si quelqu'un lit ceci et me fâche parce qu'il a un circuit comme celui-ci et qu'il fonctionne aussi , vérifiez si \$C_1\$est un électrolytique, et regardez l'étape précédente. Pour de nombreuses combinaisons d'ampli opérationnel et de condensateur électrolytique, l'ESR du condensateur peut bien stabiliser suffisamment le circuit pour qu'il soit au moins stable (s'il ne se comporte pas bien). D'ailleurs, si l'étage précédent a une impédance non nulle dans la bonne gamme de fréquences, cela stabiliserait également le circuit.
Beaucoup trop de mystère entre dans les réponses. En termes simples, le gain de la première étape est$$\frac{Z_f}{Z_{\text{in}}}$$
Le dénominateur passe à zéro à haute fréquence, car le plafond se comporte comme un short.
C'est un cas curieux - je l'ai simulé et j'ai obtenu la même réponse «passe-bande» nette.
Votre équation de transfert est correcte.
C'est un filtre passe-haut, et le gain explose à l'infini aux hautes fréquences.
Cela a du sens: l'impédance de C1 passe à zéro, donc le gain du premier étage R2 / 0 passe à l'infini.
Mais dans la vraie vie ou même dans la simulation, l'ampli-op ne peut produire qu'une quantité limitée. À un moment donné, l'entrée inverseuse de l'amplificateur opérationnel ne peut plus être maintenue à une masse virtuelle car l'amplificateur opérationnel n'a plus d'oscillation de tension.
Ainsi, le gain augmentera rapidement à mesure que l'impédance de C1 baisse, atteindra un maximum, et par la suite l'amplificateur opérationnel cessera de se comporter, devenant un comparateur indiscipliné se fracassant contre les rails. Les résultats de la simulation dans le domaine fréquentiel à ce stade deviendront insensés car les choses sont devenues non linéaires (distorsion).
La façon de faire en sorte que ce circuit se comporte est d'ajouter une résistance de source Rs à votre source de tension. Cela évite la division par 0 et tant que le gain du premier étage de R2 / Rs est dans la plage de l'amplificateur opérationnel, vous obtiendrez votre réponse passe-haut attendue.
Il y aura une baisse supplémentaire au-dessus de 100 kHz en raison de la faiblesse générale de l'ampli-tuner aux hautes fréquences.
EDIT Voici un graphique de la simulation dont l'OP parle. Une réponse passe-haut était attendue étant donné la fonction de transfert, mais cette passe-bande apparente et nette a été observée.
