Représentations intégrales indécomposables d'un groupe d'ordre 2 «à la main»
Cette question est une copie de la question MO de 2010 .
Je suis intéressé par la classification des classes d'isomorphisme de $n$-présentations intégrales dimensionnelles du groupe cyclique $C_2$ d'ordre $2$. Clairement, toute représentation intégrale de$C_2$est une somme directe de représentations intégrales indécomposables .
Le résultat suivant est bien connu:
Théorème. Le groupe$C_2$ a exactement 3 classes d'isomorphisme de représentations intégrales indécomposables:
(1) trivial;
(2) la représentation du signe;
(3) la représentation bidimensionnelle avec matrice $\left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\right).$
Ce résultat a été énoncé dans la réponse de Victor Protsak . Voir aussi la réponse de Todd Leason .
Dans son commentaire, Victor Protsak donne une référence. Il écrit: "Curtis et Reiner, chapitre 11. C'est un cas particulier d'un théorème de la section 74 qui classe les représentations intégrales de groupes cycliques d'ordre premier. Naturellement, ce cas est beaucoup plus facile et peut être fait à la main."
Question. Comment prouver le théorème ci-dessus "à la main", sans référence au livre de Curtis et Reiner?
Motivation: je travaille maintenant avec l'algébrique$\mathbb R$-tori. Ils sont classés par représentations intégrales du groupe Galois${\rm Gal}({\mathbb C}/{\mathbb R})$, qui est un groupe d'ordre $2$. Afin de comprendre la classification bien connue des indécomposables$\mathbb R$-tori, j'ai besoin de comprendre la classification bien connue des représentations intégrales indécomposables de ${\rm Gal}({\mathbb C}/{\mathbb R})$.
J'ai posé cette question apparemment élémentaire sur Mathematics StackExchange , mais je n'ai obtenu ni réponses ni commentaires, alors je la pose ici.
Réponses
Dans Computing with real tori , Casselman a une belle description de ce théorème du point de vue non seulement de prouver que ce sont les seuls tori indécomposables, mais, en supposant que l'on vous donne une représentation intégrale explicite de$\operatorname C_2$, trouvant / calculant explicitement sa décomposition en ces trois représentations.
En fait, si vous (vous le lecteur général, pas nécessairement @MikhailBorovoi) n'êtes pas familier avec les travaux récents de Bill Casselman, cela vaut la peine de consulter sa page http://www.math.ubc.ca/~cass; il s'intéresse depuis un certain temps à faire des calculs réels, dans le sens de choses qui peuvent être introduites dans un ordinateur, concernant des groupes algébriques. Ce qui précède est un exemple; d'autres peuvent être trouvés àhttp://www.math.ubc.ca/~cass/research/publications.html, y compris, par exemple, Le calcul des constantes de structure selon Jacques Tits - des choses que nous savons tous peuvent être faites mais que la plupart d'entre nous (au moins moi!) hésiteraient à faire , ici présentées d'une manière qui montre comment pour le réaliser pratiquement.
(Il y a aussi de belles choses sur les graphiques mathématiques !)