Requête de référence: Une généralisation multidimensionnelle du théorème fondamental du calcul
$\newcommand\R{\mathbb R}$Laisser $f\colon\R^p\to\R$être une fonction continue. Pour$u=(u_1,\dots,u_p)$ et $v=(v_1,\dots,v_p)$ dans $\R^p$, laisser $[u,v]:=\prod_{r=1}^p[u_r,v_r]$; $u\wedge v:=\big(\min(u_1,v_1),\dots,\min(u_p,v_p)\big)$; $u\vee v:=\big(\max(u_1,v_1),\dots,\max(u_p,v_p)\big)$; $$\int_u^v dx\, f(x):= (-1)^{\sum_{r=1}^p\,1(u_r>v_r) }\int_{[u\wedge v,u\vee v]}dx\,f(x).$$ Laisser $F\colon\R^p\to\R$ être une primitive de $f$, dans le sens où $$D_1\cdots D_p F=f,$$ où $D_j$ est l'opérateur de la différenciation partielle par rapport au $j$e argument; on suppose que le résultat de cette différenciation partielle répétée ne dépend pas de l'ordre des arguments par rapport auxquels les dérivées partielles sont prises. Laisser$[p]:=\{1,\dots,p\}$. Pour chaque ensemble$J\subseteq[p]$, laisser $|J|$ dénotent la cardinalité de $J$.
Alors il n'est pas difficile d'établir la généralisation multidimensionnelle suivante du théorème fondamental du calcul ( Lemme 5.1 ): \ begin {equation} \ int_u ^ v dx \, f (x) = \ sum_ {J \ subseteq [p]} ( -1) ^ {p- | J |} F (v_J), \ end {équation} où$v_J:=\big(v_1\,1(1\in J)+u_1\,1(1\notin J),\dots,v_p\,1(p\in J)+u_p\,1(p\notin J)\big)$.
Quelqu'un a-t-il vu cette déclaration ou une déclaration similaire ailleurs? (Je ne demande que des références, pas des preuves.)
Réponses
Pour un fait élémentaire comme celui-ci, qui a peut-être été réinventé mille fois, il est difficile de trouver le premier article où cela est apparu. Cependant, permettez-moi de donner un contexte manquant. Il existe toute une industrie dans la théorie constructive des champs quantiques et la mécanique statistique sur les formules d'interpolation "intelligentes" ou les formules de Taylor avec des restes intégraux. Ceux-ci sont utilisés pour effectuer ce que l'on appelle des extensions de cluster . Pour l'identité du PO, il n'y a pas de perte de généralité dans la prise$u=(0,0,\ldots,0)$ et $v=(1,1,\ldots,1)$. Dans ce cas, via l' inversion de Möbius dans le réseau booléen , la formule provient de l'identité suivante.
Laisser $L$être un ensemble fini. Laisser$f:\mathbb{R}^L\rightarrow \mathbb{R}$, $\mathbf{x}=(x_{\ell})_{\ell\in L}\mapsto f(\mathbf{x})$ être une fonction suffisamment lisse, et laissez $\mathbf{1}=(1,\ldots,1)\in\mathbb{R}^L$, ensuite $$ f(\mathbf{1})=\sum_{A\subseteq L}\int_{[0,1]^A}d\mathbf{h} \left[\left(\prod_{\ell\in A}\frac{\partial}{\partial x_{\ell}}\right)f\right](\psi_A(\mathbf{h})) $$ où $\psi_A(\mathbf{h})$ est l'élément $\mathbf{x}=(x_{\ell})_{\ell\in L}$ de $\mathbb{R}^L$ défini à partir de l'élément $\mathbf{h}=(h_{\ell})_{\ell\in A}$ dans $[0,1]^A$ par la règle: $x_{\ell}=0$ si $\ell\notin A$ et $x_{\ell}=h_{\ell}$ si $\ell\in A$. Bien sûr, il faut 1) appliquer cela à tous$L$qui sont des sous-ensembles de $[p]$, 2) utiliser l'inversion de Möbius dans le réseau booléen, et 3) se spécialiser dans $L=[p]$, et cela donne l'identité du PO.
La formule ci-dessus est la plus naïve de son genre utilisée pour faire une expansion de cluster "paire de cubes". Voir la formule III.1 dans l'article
A. Abdesselam et V. Rivasseau, "Arbres, forêts et jungles: un jardin botanique pour les agrandissements de grappes" .
Il est également expliqué en mots à la page 115 du livre
V. Rivasseau, "De la renormalisation perturbatrice à la renormalisation constructive" .
Or la formule est un cas particulier d'une formule beaucoup plus puissante, à savoir le lemme 1 dans
A. Abdesselam et V. Rivasseau, "Une expansion explicite de grappes multi-échelles à grande contre petite échelle" ,
où l'on additionne les séquences "autorisées" $(\ell_1,\ldots,\ell_k)$ de longueur arbitraire d'éléments de $L$, au lieu de sous-ensembles de $L$. La notion de permis est basée sur une règle d'arrêt arbitraire. L'identité ci-dessus correspond à "autorisé"$=$"sans répétitions", ou la règle d'arrêt selon laquelle il ne faut pas virer $\ell$à la fin d'une séquence où il est déjà apparu. En jouant avec ce genre de choix de règle d'arrêt on peut utiliser le lemme 1 de mon article avec Rivasseau, pour prouver la formule Hermite-Genocchi, la formule anisotrope de Taylor de Hairer en annexe A de "Une théorie des structures de régularité" et bien d'autres choses . Lorsque$f$ est l'exponentielle d'une forme linéaire par exemple, on peut obtenir diverses identités algébriques comme dans les postes MO
identité fonctionnelle rationnelle
Identité impliquant la somme sur les permutations
J'ai oublié de mentionner, on peut utiliser le lemme 1 pour dériver la formule de Taylor à partir du calcul 1. Cela correspond à $L$ avoir un élément et définir les séquences autorisées comme celles de longueur au plus $n$. Voir
https://math.stackexchange.com/questions/3753212/is-there-any-geometrical-intuition-for-the-factorials-in-taylor-expansions/3753600#3753600
le $p=2$le cas dimensionnel est un exercice du manuel de calcul de Rogawski. Il s'agit de l'exercice 47 à la page 885, section 15.1 (Intégration dans plusieurs variables) de l'édition 2008 Early Transcendentals.