Si $\{a_n\}$ est une séquence positive et $b_n := a_1/a_2 + \dotsb + a_{n-1}/a_n + a_n/a_1$, puis montrez que $\lim_{n \to \infty} b_n = \infty$.

Aug 18 2020

Laisser $a_n$ être une séquence positive.

Nous définissons $b_n$ comme suit:

$$b_n = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1}$$

Question: Prouvez que$\lim b_n=\infty$.


Ma solution proposée: j'ai pu prouver le contraire (que la limite n'est pas l'infini), pouvez-vous me montrer ce que j'ai mal fait?

j'ai pris $a_n$ comme suit: $1,1,2,8,64,1024,\dots$ ensuite $b_n$ est: $$1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + \dotsb + a_n.$$ Les premiers éléments sauf le dernier sont la somme d'une progression géométrique qui converge vers $2$ quand $n$ devient trop grand donc la limite globale est $2+a_n$ ce qui n'est certainement pas l'infini ...

Réponses

6 user Aug 18 2020 at 14:15

Dans votre contre-exemple, quelque chose ne fonctionne pas, en effet vous supposez

$$\large {a_n=2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}}\to \infty$$

et donc

$$b_n= \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{2^{n-1}} + a_n\ge a_n \to \infty$$

Pour le prouver $b_n \to \infty$, par AM-GM nous avons cela

$$b_n = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1} \ge n \sqrt[n]{\frac{a_1}{a_2} \cdot \frac{a_2}{a_3} \cdot \ldots \cdot \frac{a_{n-1}}{a_n} \cdot \frac{a_n}{a_1}}=n\cdot 1=n\to \infty$$

puis conclure par le théorème de compression.

3 YvesDaoust Aug 18 2020 at 14:40

Nous pouvons écrire

$$b_n=c_1+c_2+c_3+\cdots c_{n-1}+\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}}$$ où le $c_k$ sont des nombres positifs.

La valeur minimale de $b_n$ se trouve en annulant le dégradé,

$$\forall k:1-\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}c_k}=0$$ ou $$c_k=\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}}=\frac1p.$$

La solution est $p=c_k=1$ et $b_n=n$ est la plus petite somme possible, trouvée indépendamment par @user.