Si chaque fonction à valeur réelle continue définie sur $K$ est borné, alors $K$ est compact
J'essaie de résoudre la question suivante de la section d' analyse réelle :
- Laisser $K$ être un sous-ensemble non vide de $\mathbb R^n$ où $n > 1$. Laquelle des affirmations suivantes doit être vraie?
(I) Si $K$ est compacte, alors chaque fonction continue à valeur réelle définie sur $K$ est délimité.
(II) Si toute fonction continue à valeur réelle définie sur $K$ est borné, alors $K$ est compact.
(III) Si $K$ est compact, alors $K$ est connecté.
La preuve pour (I) est standard. J'essaye de voir (II) par contradiction.
Est-il possible d'encadrer une preuve pour (II) en suivant ces lignes:
Supposer $K \subseteq \mathbb R^n$n'est pas compact. Puis il existe un couvercle ouvert$\mathcal C$qui n'a pas de sous-couverture finie. Mais$f: K \to \mathbb R$est continue. (...) Contradiction.
Réponses
Un sous-ensemble de $\mathbb{R^n}$est compact si et seulement s'il est fermé et borné, c'est un résultat standard. Maintenant, supposons que chaque fonction à valeur réelle continue définie sur$K$est délimité. En particulier, la fonction$f(x)=||x||$ est lié à $K$, Par conséquent $K$ est un ensemble borné.
Donc nous n'avons qu'à prouver $K$est fermé. Eh bien, supposons que ce ne soit pas le cas. Ensuite, il y a un point$y\in\overline{K}\setminus K$. Définir$f:K\to\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{1}{||x-y||}$. C'est une fonction continue qui n'est pas bornée, une contradiction.
Je voudrais juste ajouter que si la plage était les réels dotés de la métrique bornée, $d(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}$, alors l'instruction n'est pas vraie pour les espaces métriques même si le $Dom(f)$ satisfait la propriété Heine-Borel.