Si $f$ a un pôle d'ordre $m$ à $z_0$, puis $\frac{1}{f}$ a une singularité amovible à $z_0$.

Question

Mon manuel dit que

• Si $f$ a un pôle d'ordre $m$ à $z_0$, puis $\frac{1}{f}$ a une singularité amovible à $z_0$, et si nous définissons $(\frac{1}{f})(z_0) = 0$, puis $\frac{1}{f}$ a un zéro d'ordre $m$ à $z_0$.

Mais je pense que, depuis $f = \frac{g(z)}{(z-z_0)^m}$ où $g(z)$ est analytique et non nul à $z_0$, $\frac{1}{f}$, qui équivaut à $\frac{(z-z_0)^m}{g(z)}$, est sûrement analytique à $z_0$ et a un zéro d'ordre $m$ à $z_0$. Si c'est analytique à$z_0$, puis $z_0$ ne peut pas être un point de singularité.

Pourquoi mon manuel dit-il $z_0$ est une singularité amovible et définit $(\frac{1}{f})(z_0) = 0$?

Answer 1

Votre fonction $\frac{1}{f}$ n'est défini que sur un voisinage de $z_0$ qui exclut $z_0$il faut donc vraiment le définir. En réalité,$\frac{1}{f}= \frac{(z-z_0)^m}{g(z)}$ Est-ce que $\textbf{not}$ avoir du sens à $z_0$.

Answer 2

On remarque que $z_0$ n'est pas du domaine de $\frac{1}{f}$ puisque $f(z)$n'est pas a priori défini à$z_0$. Cette situation peut être corrigée en définissant $\frac{1}{f}(z_0)$ d'une manière compatible avec la continuité, à savoir:

Nous définissons

$\left (\dfrac{1}{f} \right )(z_0) = 0 \tag 1$

car

$\displaystyle \lim_{z \to z_0} \dfrac{(z - z_0)^m}{g(z)} = 0. \tag 2$