Si $fg$ est continue à $a$ puis $g$ est continue à $a$.

Dec 30 2020

Supposer que $f$ et $g$ sont définis et valorisés sur un intervalle ouvert $I$ qui contient $a$, cette $f$ est continue à $a$, et cela $f(a) \neq 0$. Si$fg$ est continue à $a$ puis $g$ est continue à $a$.

$\underline{Attempt}$

Puisque $f$ est conituel à $a$ et $fg$ continue à $a$,

$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a) \text{ and } \lim_{x\to a}f(x)g(x)=f(a)g(a)$$

donc

$$\lim_{x\to a} {f(x)g(x)} = \lim_{x\to a}f(x) \lim_{x\to a}g(x)=f(a)\lim_{x\to a}g(x)=f(a)g(a)$$

puisque $f(a) \neq0$

$$\lim_{x\to a}g(x)=g(a)$$

$\therefore g$ est continue à $a$

Réponses

1 KaviRamaMurthy Dec 30 2020 at 16:58

Votre preuve n'est pas correcte. Vous supposez l'existence de$\lim_{ x \to a} g(x)$mais vous devez prouver l'existence de cette limite. Écrire$g(x)$ comme $\frac 1 {f{(x)}} {g(x)f(x)}$ en observant que $f(x) \neq 0$ si $|x-a| $est assez petit. Maintenant, vous pouvez voir que la limite existe et égale$\frac {f(a)g(a)} {f(a)}=g(a)$.

[Il existe $\delta >0$ tel que $|x-a| <\delta$ implique $|f(x)-f(a)| <\frac {|f(a)|} 2$. Donc$|x-a| <\delta$ implique $|f(x)| >|f(a)| -\frac {|f(a)|} 2=\frac {|f(a)|} 2>0$ et donc $f(x) \neq 0$].