si$\int\limits_a^bf(x)dx=0$pour tous les nombres rationnels$a<b$, alors$f(x)=0$ae [dupliquer]

Aug 16 2020

Laisser$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$être une fonction intégrable.
Montrez que si$\int\limits_a^bf(x)dx=0$pour tous les nombres rationnels$a<b$, alors$f(x)=0$tout le plus partout.

Indice : première preuve$\int\limits_Af=0$pour$A$un ensemble ouvert, alors pour$A$mesurable.

Ma tentative : Laissez$A$un ensemble ouvert dans$\mathbb{R}$. On peut alors écrire$A=\bigcup\limits_{k}(a_k,b_k)$$\left\{(a_k,b_k)\right\}_{k=1}^{\infty}$est une collection disjointe d'intervalles ouverts avec des points finaux rationnels (Est-ce possible ?)

Alors$\int\limits_Afdx=\int\limits_{\bigcup\limits_{k}(a_k,b_k)}fdx=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\int\limits_{a_k}^{b_k}fdx=0$

Alors comment dois-je utiliser le résultat pour mesurable$A$et de plus, après l'avoir fait, est-ce que$\int\limits_{\mathbb{R}}f=0$implique$f=0$e?
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Réponses

ratatuy Aug 16 2020 at 02:27

Je pense que c'est simple. Laisser$A=\{x:f(x)\not=0\}$ $B=\{x:f(x)=0\}$

$\mu (D)$est la mesure de l'ensemble$D$. Nous savons$\mu (A)=0$et$\mu (B)=b-a$. Intégrale de Lebesgue :$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{A} f(x)d\mu+\int_{B} f(x)d\mu=0$Car$\int_{A} f(x)d\mu=0$( car$f(x)=0$presque partout) et$\int_{B} f(x)d\mu=0$

Keen-ameteur Aug 16 2020 at 02:46

Vous pouvez faire une astuce classique pour définir la collection

$$ \mathcal{E}:=\{ A\in \mathcal{B}_\mathbb{R}: \int_A fdx=0 \}, $$

puis montrer que$\mathcal{E}=\mathcal{B}_\mathbb{R}$. Depuis$f$est mesurable, le résultat final souhaité suivra car sinon$\pm \int_{B_\pm} fdx>0$$B_\pm=\{x\in\mathbb{R}: \pm f(x)>0\}$.

Vous pourrez vérifier ultérieurement que$\mathcal{E}$est un$\sigma$-algèbre, donc si vous montrez que$A\in \mathcal{E}$pour tout ensemble ouvert$A$, alors il s'ensuivra que$\mathcal{E}=\mathcal{B}_\mathbb{R}$.

Enfin puisque les intervalles à extrémités rationnelles sont une base comptable de la topologie sur$\mathbb{R}$, pour toute ouverture$A\subseteq \mathbb{R}$il existe une collection d'intervalles avec des extrémités rationnelles,$\{ (a_k,b_k) \}_{k=1}^\infty$tel que$A=\cup (a_k,b_k)$. En utilisant le DCT, vous obtenez que$\int_A f =0$.