Si $p$ est un nombre premier impair avec $p ≡ 3(\mod 4)$, puis $(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}$

Question

Prouvez si c'est vrai. Donnez un contre-exemple si faux. Si$p$ est un nombre premier impair avec $p ≡ 3(\mod 4)$, puis $$(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}.$$

Preuve. $p ≡ 3(\mod 4)$ implique $4|p-3$. Le théorème de Wilson dit: si p est premier, alors$$(p-1)! + p\mathbb{Z} = -1 + p\mathbb{Z}$$ ou équivalent $$(p-1)! ≡ -1(\mod p).$$ Ce dernier implique $$p|(p-1)!+1.$$

Je ne sais pas trop où aller à partir de là, ni si c'est même la bonne approche pour commencer.

Answer 1

D'après le théorème de Wilson, nous savons que $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$,

Il suffit donc de prouver que $$(-1)^{\frac{p-1}2}=-1$$

ce qui équivaut à prouver que $\frac{p-1}2$ est un nombre impair

Si $p = 4k+3$, puis $$\frac{p-1}{2}=\frac{4k+2}{2}=2k+1$$ qui est un nombre impair.