Solution étrangère de substitution dans les équations
Je suis tombé sur cet exemple de la façon dont vous pourriez vous retrouver avec une solution étrangère, mais je me demandais comment cela était né. Nous avons l'équation:$$x^2+x+1=0 $$ Puisque x = 0 ne satisfait pas l'équation, vous pouvez diviser par x des deux côtés, ce qui donne: $$x+1+\frac{1}{x}=0$$ce qui équivaut à notre première équation. De notre première équation, nous pouvons conclure que:$$-x^2=x+1$$ Nous substituons maintenant cela dans la deuxième équation pour obtenir:$$x^2=\frac{1}{x}$$ ce qui se traduit par $$x^3=1$$qui est équivalent à notre équation précédente puisque x ne peut pas être 0. Cependant, une solution de notre dernière équation est x = 1, ce qui n'est pas une solution à notre équation d'origine. J'ai une vague idée que cela peut avoir à voir avec le fait que vous obtenez une équation cubique et que vous avez commencé par une équation quadratique, et que les étapes impliquent ce qui suit et non l'inverse, mais pouvez-vous fournir une réponse très détaillée pour expliquer pourquoi cela se pose? Pouvez-vous donner plus d'exemples?
Réponses
Si nous appelons $A(x)=x^2+x+1$ et $B(x)=x+1+\frac1x$, nous pouvons schématiser vos passages comme tels: $$A(x)=0\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ B(x)=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ A(x)=0 \\B(x)=0\end{cases}\stackrel{!!!}\Rightarrow \begin{cases}x\ne 0\\ B(x)-A(x)=0\end{cases}$$
Alors que pour préserver l'équivalence, vous auriez dû conserver $A(x)=0$ dans $\begin{cases}x\ne0\\ B(x)-A(x)=0\\ A(x)=0\end{cases}$
Cette substitution ($x+1=-x^2$) développe un ensemble de racines de l'équation
car $-x^2$ dépend aussi de $x$.
Vous pouvez remplacer $x+1=y$, par exemple.
Plus d'exemple, lorsqu'une substitution similaire pose des problèmes similaires.
Laissons nous devons résoudre $$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}.$$
On obtient: $$\left(\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}\right)^3=x-1$$ ou $$2x+1+x+1+3\sqrt[3]{2x+1}\cdot\sqrt[3]{x+1}\left(\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}\right)=x-1.$$ Maintenant, depuis $$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1},$$ qui peut avoir quelque chose de mauvais, on obtient: $$3\sqrt[3]{(2x+1)(x+1)(x-1)}=-3-2x$$ ou $$x(440x^2+630x+189)=0$$ et nous avons eu comme une des options $x=0$.
Facile à voir $0$ n'est pas une racine de l'équation de départ et c'est arrivé
parce que nous avons utilisé une substitution incorrecte $\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x-1}.$
Maintenant, nous devons vérifier que toutes les racines de l'équation $440x^2+630x+189=0$ sont les racines de l'équation de départ, ce qui n'est pas si facile.
Si nous voulons éviter ces problèmes, nous devons utiliser l'identité suivante. $$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$$
Toutes les transformations d'une équation doivent être réversibles. Avec$x=0$,
$$x^2+x+1=0\leftrightarrow x+1+\frac1x=0$$ c'est bien.
Mais en combinant deux équations en une $$\begin{cases}x+1=-\dfrac1x\\x+1=-x^2\end{cases}\leftrightarrow x^2=\frac1x$$ n'est pas.