Surfaces de Riemann elliptiques, paraboliques et hyperboliques : classification ?

Aug 17 2020

Dans le livre de Kra et Farkas sur les surfaces de Riemann, la définition suivante (légèrement inhabituelle) est donnée :

Définition IV.3.2 ( Section IV.3 ). Laisser$M$être une surface de Riemann. Nous appellerons$M$ elliptique si et seulement si$M$est compacte. Nous appellerons$M$ parabolique si et seulement si$M$n'est pas compacte et$M$ne porte pas de fonction sous-harmonique non négative. Nous appellerons$M$ hyperbolique si et seulement si$M$porte une fonction sous-harmonique négative non constante.

Question. Existe-t-il un moyen géométrique de caractériser les surfaces paraboliques et hyperboliques ? Par exemple, supposons$M$est une surface de Riemann compacte et$x_1,\ldots, x_n$sont des points dessus. Est-ce que la superficie$M\setminus \{x_1,\ldots, x_n\}$parabolique?

Réponses

2 AlexandreEremenko Aug 17 2020 at 21:24

C'est une terminologie quelque peu inhabituelle, mais elle est courante dans la théorie de la classification des surfaces de Riemann ouvertes. La notation la plus standard est$P_G$pour "parabolique", et$O_G$pour "hyperbolique".

La surface$M\backslash\{ x_1,\ldots,x_n\}$est parabolique en ce sens, par le "théorème de singularité amovible" (une fonction sous-harmonique qui est bornée par le haut dans un voisinage ponctué du point se prolonge en une fonction sous-harmonique dans le voisinage complet).

Il existe des critères, en particulier, pour les surfaces de la forme$M\backslash E$, où$M$est compacte et$E$est un sous-ensemble fermé. Mais ces critères ne sont pas très géométriques : ils utilisent la capacité. Certains résultats peuvent être donnés en termes de mesures de Hausdorff de$E$mais ils ne sont pas "nécessaires et suffisants".

Les résultats classiques peuvent être trouvés dans les livres

M. Tsuji, Potential theory in modern function theory, Maruzen, Tokyo, 1959 (il existe une réimpression AMS).

Ahlfors, Sario, Riemann surfaces, Princeton UP, 1960.