Surjectivité du degré d'homomorphisme

Question

Concernant la question et la discussion suivantes:

Est-ce que l'homomorphisme du degré $\text{deg}: \text{Pic}(X)\to \mathbb{Z}$ surjectif?

Nous convenons que si $X$est une courbe sur un champ algébriquement clos, la réponse est oui, et pas toujours autrement. Quelle est la réponse dans le cas où$X$est une courbe sur un champ séparément fermé?

Est-ce une condition suffisante pour que l'homomorphisme de degré soit surjectif?

Answer 1

La réponse est oui, en supposant que vous preniez «courbe» pour signifier «géométriquement réduite». Chaque géométriquement réduit$k$-le schéma de type fini a un $k^s$point par proposition 3.2.20 de la géométrie algébrique de Liu et des courbes arithmétiques (l'idée de la preuve est que géométriquement réduit signifie$k(X)/k$est séparable, et le lieu d'un tel comportement est ouvert pour des schémas de type fini sur un corps). Cela prouve votre affirmation, en supposant que vous prenez une réduction géométrique dans le cadre de votre définition d'une courbe: choisissez une$k^s$ point.

Vous pouvez également consulter Stacks 04QM pour plus de détails sur la déclaration ci-dessus.