Transformation linéaire unique transportant l'hyperplan projectif en hyperplan projectif et point à point - une preuve concise
Laisser $\mathbb P^n$ dénotent le projectif $n$-espace sur un champ algébriquement proche $k$, c'est à dire $\mathbb P^n$ est donné par $(\mathbb A^{n+1}\setminus \{0\})/ \sim$ où $\mathbb A^{n+1}$ est l'affine $(n+1)$-espace et $\sim$ est la relation d'équivalence identifiant les points qui sont des multiples scalaires l'un de l'autre, c'est-à-dire pour deux points $(a_0, \cdots , a_n)$ et $(b_0, \cdots , b_n)$ dans $\mathbb A^{n+1}$, $$(a_0, \cdots , a_n) \sim (b_0, \cdots , b_n) \iff \exists \hspace{1mm} \lambda \in k^\times \text{ s.t. } b_j = \lambda a_j \text{ for all }1 \leq j \leq n$$ Par un hyperplan dans $\mathbb P^n$, Je veux dire l'ensemble zéro d'un polynôme linéaire homogène $f \in k[x_0, \cdots , x_n]$, c'est un polynôme de la forme $f(x_0, \cdots , x_n) := \sum_{j=0}^n a_j x_j$ où $(a_0, \cdots , a_n) \in \mathbb P^n$.
J'ai déjà vu le résultat suivant être utilisé dans quelques contextes auparavant, et bien que je puisse voir intuitivement pourquoi cela doit être vrai, je n'ai pas pu trouver un argument rigoureux justifiant la même chose:
Fait (?) Let$H$ être un hyperplan et $P$ à tout moment $\mathbb P^n \setminus H$. Alors il existe une transformation linéaire$A \in \text{GL}_{n+1}(k)$ tel que $A(H)$ est l'hyperplan $\{(x_0, \cdots , x_n) : x_0=0\}$ et $A(P) = (1, 0, \cdots , 0)$.
Je recherche une preuve complète et concise de ce résultat, si possible propre. Je pense qu'un argument possible pourrait reposer sur les observations suivantes:
- $H$ est uniquement déterminé par tout $n$points dessus. Alors nous choisissons maintenant$n+1$ points $P_1, \cdots , P_n$ sur $H$.
- Il existe un envoi de transformation linéaire $P$ à $(1, 0, \cdots, 0)$ et $P_j$ à $(0, \cdots , 0 , 1, 0, \cdots, 0) \in \mathbb P^n$ ($0$ dans le $j$-th slot, ici le $n+1$ les slots sont appelés les $0$-th, $1$-st, ..., $n$-th slots) pour chaque $1 \leq j \leq n$.
Je n'ai cependant pas réussi à les rendre propres et rigoureux (je continue de m'impliquer avec trop d'équations linéaires) et je commence à douter de l'exactitude de mon intuition. J'apprécierais vraiment un argument complet pour le "fait (?)" Ci-dessus ou une référence contenant le même et si possible, des suggestions sur la façon de faire fonctionner mon idée.
Edit (Some Progress): Grâce au commentaire de Roland, je pense avoir fait quelques progrès:
Laisser $H$ être donné par l'équation $\sum_{j=0}^n a_j x_j = 0$. Puis dans$\mathbb A^{n+1}$, $H$ reste le même (néanmoins je l'appellerai $H_0$ lorsqu'il est considéré comme un sous-ensemble de $\mathbb A^{n+1}$) tandis que $P := (p_0, \cdots , p_n)$ devient la ligne $L_0 := \{(p_0 t, \cdots , p_n t) : t \in k\}$. Je dois d'abord montrer qu'il y a une matrice$A \in \text{GL}_{n+1}(k)$ tel que $A(H_0) = H_1$ et $A(L_0)=L_1$, où $H_1 := \{(0, x_1, \cdots , x_n) : x_j \in k\} \subset \mathbb A^{n+1}$ et $L_1$ est la ligne $\{(t, 0, \cdots , 0) : t \in k\} \subset A^{n+1}$.
Alors maintenant je peux choisir $n$ points linéairement indépendants $A_j \in H_0$ ($1 \leq j \leq n$), ce qui est possible depuis $H_0$ est un $n$-sous-espace dimensionnel de $\mathbb A^{n+1}$ et j'obtiens une transformation linéaire $A \in \text{GL}_{n+1}(k)$ qui envoie $A_j$ à $(0, \cdots , 0 , 1, 0, \cdots 0)$ (avec $1$ dans le $j$-th slot) pour chaque $1 \leq j \leq n$. Donc$A$ envoie $H_0$ à $H_1$. Je dois encore envoyer$A(L_0)$ à $L_1$ donc j'ai besoin d'une transformation linéaire $T \in \text{GL}_{n+1}(k)$ qui envoie $A(L_0)$ (qui est également une ligne passant par l'origine) à $L_1$ et les feuilles $H_1$ invariant (comme un ensemble).
Enfin, nous laissons $T \in \text{GL}_{n+1}(k)$ être la transformation linéaire qui envoie $(p_0, \cdots , p_n) \in \mathbb A^{n+1}$ à $(1, 0, \cdots , 0)$ et corrige une base de $H_1$ point par point.
Après avoir obtenu cette dernière transformation linéaire $T$, on remarque que $TA \in \text{GL}_{n+1}(k)$ envoie $H_0$ à $H_1$ et $L_0$ à $L_1$ dans $\mathbb A^{n+1}$. Par conséquent$TA$ devrait également faire le travail requis, à savoir, envoyer $H$ à $\{(0, x_1, \cdots , x_n)\} \subset \mathbb P^n$ et $P$ à $(1, 0, \cdots 0)$, complétant ainsi la preuve et faisant de "Fact (?)" $ un fait.
Ma seule question complémentaire: cet argument est-il correct ou y a-t-il des lacunes?
Réponses
Une petite note: $GL_{n+1}(k)$agit différemment pour les systèmes linéaires et pour les points. Si$H$ est un hyperplan d'équation $a^T \times x=0$, puis l'équation de $AH$ est $(aA^{-1})^T \times x=0$.
Maintenant, votre problème est le suivant: des vecteurs différents de zéro $a$ (rangée) et $x$ (colonne) avec $ax \neq 0$, trouver une matrice inversible $A$ tel que $aA^{-1}=(1,0,\ldots,0)$, $Ax=(r,0,\ldots,0)$ avec $r \neq 0$.
Trouver une base $(a_2,\ldots,a_{n+1})$ du $n$-espace dimensionnel des vecteurs lignes orthogonaux à $x$. Prendre$A_1$ la matrice dont les lignes sont $(a,a_2,\ldots,a_{n+1})$. Puis par définition$aA_1^{-1}=(1,0,\ldots,0)$, et $x_1=A_1x$ n'a aucune entrée aux indices $2 \leq i \leq n+1$et est différent de zéro. Nous avons donc terminé.