Triangle avec l'aire au plus$\frac{7}{12}$.
Supposons qu'il existe$75$points à l'intérieur d'un cube unité de sorte qu'il n'y ait pas trois points colinéaires. Montrer qu'il est possible de choisir trois points parmi ceux donnés ci-dessus qui forment un triangle d'aire au plus$\frac{7}{12}$. Comment est-il possible d'obtenir l'aire du triangle à partir de ces données données ? S'il vous plaît aider. Merci d'avance.
Réponses
Diviser le cube unité en 27 cubes de taille$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}$.
Par le principe du casier, un de ces cubes contient 3 des 75 points. A partir de la condition donnée, ces points ne sont pas colinéaires. Ils forment donc un triangle
Dans un cube de côté$a$, l'aire maximale d'un triangle pouvant y tenir est$\frac{\sqrt{3}a^2}{2}$.
Pour le côté$\frac{1}{3}$, c'est$\approx 0.0962 < \frac{7}{12}$
Ces trois points forment donc un triangle d'aire inférieure à$\frac{7}{12}$
Choisissez des points$(0,0,0)$et$(1,1,z)$et$(1,1,0)$. L'aire de ce triangle est$\frac{z}{\sqrt 2}$.
Choisissez maintenant$z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$
Il existe une infinité de façons de placer les 72 points restants, il devrait donc exister des moyens de faire en sorte qu'aucun 3 points ne soit non colinéaire.
Les points restants peuvent par exemple se trouver dans le plan$z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$et former une forme circulaire.