Trouver le maximum / minimum global sur une zone rectangulaire

Aug 17 2020

Trouvez tous les points maximum / minimum globaux de cette fonction:

$$f(x,y) = (x-3)^2 + (y-4)^2 + 100$$
Dans un rectangle avec des sommets:

$$(-2,-1), (3,-1), (-2,1) , (3,1)$$

J'ai essayé de dessiner ce rectangle, et je l'ai obtenu:

$$ [-2,3] \times [-1, 1] $$

J'ai calculé les dérivées partielles:

$f_x = 2(x-3) = 0 \Rightarrow x = 3$
$f_y = 2(y-4) = 0 \Rightarrow y = 4$

Et donc j'ai compris que le seul point est $(3,4)$

Lequel n'est pas sur le rectangle ... donc il n'y a pas de points max / min globaux? Je pense que c'est une mauvaise approche, j'apprécierais votre aide!

Je vous remercie!

Réponses

1 aras Aug 17 2020 at 03:23

Trouver des points où $f_x = 0$ et $f_y = 0$vous donne tous les extrema locaux à l' intérieur de la région$[-2, 3] \times [-1, 1]$, c'est-à-dire le rectangle ouvert $(-2, 3) \times (-1, 1)$. Ce que vous avez montré, c'est qu'il n'y a pas d'extrema local à l'intérieur. Cependant, il peut toujours y avoir des maxima / minima sur la limite du rectangle. (En fait, parce que$[-2, 3] \times [-1, 1]$ est compacte, l'analyse nous dit que nous pouvons trouver un maximum et un minimum global.)

Pour trouver ces maxima et minima globaux, vous devez regarder quelles valeurs $f$ prend la limite du rectangle $[-2, 3] \times [-1, 1]$. Quand est-il le plus petit / le plus grand?

Par exemple, nous pourrions d'abord regarder le bord inférieur du rectangle. C'est l'ensemble des points$\{ (a, -1): a \in [-2, 3] \}$. Sur cette région notre fonction$f$ prend les valeurs

$$f(x, -1) = (x- 3)^2 + (-1 - 4)^2 + 100 = x^2 - 6x^2 + 134$$

depuis $y$ est toujours $-1$sur le bord inférieur du rectangle. De là, vous pouvez utiliser le calcul à variable unique pour calculer la ou les valeurs de$x$ dans $[-2, 3]$ Pour qui $f$ est minimal / maximal.

Ensuite, faites la même chose pour les autres côtés.

(Edit: tout comme il faut vérifier les bords du rectangle en plus de son intérieur, il faut vérifier les "bords" des côtés (c'est-à-dire les quatre coins) en plus des côtés eux-mêmes! En d'autres termes, ne t oublier s'il faut calculer f à chacun des quatre coins et voir si cela donne un point extrême.)

1 FelipeAlandete Aug 17 2020 at 03:32

Le fait que le point que vous avez trouvé ne soit pas dans le rectangle signifie que, si vous regardez la fonction globale, le point maximum / minimum n'est pas dans le rectangle. Cependant, nous ne regardons qu'une petite région de la fonction - celle qui est délimitée par le rectangle.

Si vous pouvez imaginer le graphique de n'importe quelle fonction délimitée par ce rectangle, vous remarquerez qu'il a certainement un maximum et un minimum quelque part dans la bordure. Dans le calcul à variable unique, cela s'explique par le théorème des valeurs extrêmes.

Ainsi, vous devriez trouver les points maximum et minimum des quatre droites qui résultent de l'intersection de la fonction et des plans y = 1, y = -1, x = -2 et x = 3. Ces plans sont l'extension de les côtés du rectangle.

Si vous avez d'autres questions, je serai ravi de vous aider.

1 JeanMarie Aug 17 2020 at 03:25

Vous êtes dans le cas classique où les extrema sont situés à la frontière, il est donc en effet inutile d'annihiler les dérivées partielles.

Pensez à la géométrie: votre problème concerne l'intersection d'un paraboloïde $P$ dont l'apex est dans $(3,4,100)$ et axe défini par $x=3,y=4$ et une boite $B$ dont l'intersection avec le plan Oxy est celle que vous avez trouvée.

Remarque: l'intersection $I=B \cap P$ est une union d'arcs paraboliques.

  • Le point le plus bas de I sera le long de l'axe vertical $(x=3, y=1)$(qui est le plus proche de l'axe de P). Branchez ces valeurs dans l'équation pour obtenir$z_{min}=109$.

  • Le point le plus haut de I sera obtenu sur le bord vertical de la boîte qui est le plus éloigné de l'axe de P, c'est-à-dire avec des coordonnées $(x=-2,y=-1)$. Encore une fois, branchez ces valeurs dans l'équation pour obtenir$z_{max}=150$.