Trouver une fonction $f$ tel que $\lim_{x\to{}0}{f(x^2)}$ existe, mais $ \lim_{x\to{}0}{f(x)}$ne fait pas. [dupliquer]

Question

Le contexte:

Je suis en train de réviser quelques analyses et je suis actuellement en train de faire les exercices dans le livre Calculus de M. Spivak, en particulier le chapitre 5 sur les limites. Tout allait bien jusqu'à ce que je tombe sur cette question. J'y pense depuis un certain temps sans succès.

Question: "Donnez un exemple où$\lim_{x\to{}0}{f(x^2)}$ existe, mais $\lim_{x\to{}0}{f(x)}$ ne fait pas."

Mes tentatives:

Une question précédente a montré que $\lim_{x\to{}0}{f(x^3)}=\lim_{x\to{}0}{f(x)}$, qui, je crois, fonctionne parce que nous pouvons trouver la troisième racine de n'importe quel nombre réel (ce qui était utile dans epsilon - preuve delta pour cela). Ce qui me fait croire que ce qui précède échoue parce que nous ne pouvons pas faire la racine carrée des réels négatifs. Cela m'a amené à jouer avec des fonctions impliquant$\sqrt{x}$ et en utilisant son «indéfini» sur les négatifs.

J'ai commencé avec $f(x)=\sqrt{x-1}$ qui a clairement une limite indéfinie à $0$. Mais ce n'est bien sûr pas différent (compte tenu de la limite à$0$ C'est pour $f(x^2)$.

Des indices? J'ai l'impression d'oublier quelque chose d'aussi simple.

Answer 1

$$\begin{align}f\colon \Bbb R\setminus\{0\}&\to \Bbb R\\x&\mapsto \frac x{|x|}\end{align}$$

Answer 2

J'ai trouvé un autre exemple, bien qu'après avoir vu la réponse de Hagon von Eitzen.

Nous pouvons choisir $f(x)=\text{floor}(x)$.