Trouvez l'angle entre deux tangentes dessinées à partir du point $(0, -2)$ à la courbe $y=x^2$

Aug 16 2020

Trouvez l'angle entre les deux tangentes dessinées à partir du point $(0, -2)$ à la courbe $y=x^2$.

Voici ma tentative:
laissez$P(\alpha, \beta)$ être un point sur la courbe. $$\therefore \beta = \alpha^2$$ $$\frac{dy}{dx}\quad \text{at}\quad P(\alpha,\beta) = 2\alpha$$ Équation de tangente en P: $2\alpha x-y=2\alpha^2-\beta \Rightarrow2\alpha x-y = 2\alpha^2 -\alpha^2$ $$\Rightarrow2\alpha x -y -\alpha^2 =0$$ A / Q $(0, -2)$ devrait satisfaire cette équation. $\therefore 2\alpha\times0 - (-2) - \alpha^2 = 0\Rightarrow\alpha^2=2$ $$\therefore\alpha=\pm\sqrt2$$ $$\Rightarrow\beta=2$$ Maintenant, mettant ces valeurs pour trouver la pente$(m)=\frac{dy}{dx}=2\times\pm\sqrt2$ $$\therefore m = +2\sqrt2\quad and\quad -2\sqrt2$$ Nous savons que pour $\theta$= angle entre les lignes et $m_1\quad\&\quad m_2$ être la pente des lignes: $$\tan{\theta} =\big|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\big|$$ $$=\big|\frac{2\sqrt2-(-2\sqrt2)}{1+2\sqrt2\times-2\sqrt2}\big|= \big|\frac{4\sqrt2}{1-8}\big|=\frac{4\sqrt2}7$$

Ma réponse ne correspond pas au livre. Le livre est très apprécié, il ne peut donc pas se tromper. Je ne trouve pas d'erreur dans ma solution. Le livre énonce la réponse comme$$\pi - 2\arctan\sqrt8$$

Edit: Le livre énonce en fait sa réponse comme$\pi - 2\arctan\sqrt8$. J'étais l'aveugle qui ne pouvait pas voir le 2 .

Réponses

1 MichaelRozenberg Aug 16 2020 at 21:33

Je pense qu'il y a deux erreurs dans votre livre.

tout d'abord, $\theta$ devrait être un angle aigu parce que nous disons d'angle entre les tangentes et non pas de segments de tangentes, mais $\pi-\arctan\sqrt8>\frac{\pi}{2}.$

Aussi, votre réponse $\arctan\frac{4\sqrt2}{7}$ est vrai et même $\arctan\frac{4\sqrt2}{7}\neq\arctan\sqrt8$.

Après votre réparation, nous devons prouver que $$\tan(\pi-2\arctan\sqrt8)=\frac{4\sqrt2}{7},$$ ce qui est vrai parce que $$\tan(\pi-2\arctan\sqrt8)=-\frac{2\cdot\sqrt8}{1-(\sqrt8)^2}=\frac{4\sqrt2}{7}.$$

1 WolfgangKais Aug 16 2020 at 22:49

Comme vous l'avez déjà dérivé, le $x$-les valeurs des deux points de la courbe sont $-\sqrt2$ et $\sqrt2$ (avec un respectif $y$-valeur de $2$).

Jetons un œil sur la "bonne tangente" $\big($à $(+\sqrt2,2)$$\ big) $ . Comme la pente de la tangente est $ 2 \ sqrt2 = \ sqrt8 $ , l'angle entre l' axe $ x $ et cette tangente est $ \ arctan \ sqrt8 $ . Par conséquent, l'angle entre cette tangente et l' axe $ y $ est $ {\ pi \ over2} - \ arctan \ sqrt8 $ . Enfin, le double de cet angle est l'angle entre les deux tangentes, qui est en effet $ \ pi-2 \ arctan \ sqrt8 $ .